九年级数学 培优竞赛新方法-第14讲 锐角三角函数 讲义学案
展开第14讲 锐角三角函数
知识纵横
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的的通用形式。
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：
- 单调性
- 互余三角函数间的关系
- 同角三角函数之间的关系。
平方关系
商数关系
倒数关系
例题求解
【例1】（1）如图，在正方形中，是的中点，是上异于的点，且,则的值为 .
（全国初中数学联赛题）
(2)已知在中，是锐角，且，则= .
（黄冈市竞赛题）
思路点拨 对于（1），由，分别延长交于，可构造等腰三角形，作于，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过作于，这样由三角函数定义得到线段的比，,,设，解题的关键是求出的值。
【例2】如图，在中，，，则=
- B. C. D.
（全国初中数学联赛试题）
【例3】如图，在直角坐标系中，已知中，,点的坐标分别为
（1）求过点直线的函数表达式.
（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标.
（3）在（2）的条件下，如果分别是和AD的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，求出的值，如不存在，请说
明理由。
（济南市中考题）
思路点拨 对于（3），根据相似三角形的传递性，把与相似的问题转化为与相似的问题，按直角顶点分情况讨论。解本例的关键是：是三个直角三角形的公共角，其正切值贯穿解题的始终。
【例4】已知⊙O过点，点与点关于轴对称，过作⊙O的切线交轴于点（如图1）．
（1）求⊙O半径；
（2）的值；
（3）如图2，设⊙O与轴正半轴交点，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交⊙O于点，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由．
（宁波市中考题）
思路点拨 连,运用切线性质、垂径定理是解题的基础。对于（3），通过角的转化，设法计算的值。
【例5】已知：在中，，是方程的两个根．
（1）求实数应满足的条件；
（2）若满足（1）的条件，方程的两个根是否等于中两锐角A、B的正弦？
（江苏省竞赛题）
思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数应满足的条件。
正弦、余弦的有界性
【例6】设是直角三角形的三边，为斜边，整数，求证：
（福建省竞赛题）
学历训练
基础夯实
- 如图，已知是的直径，弦,,,那么的值
是
（成都市中考题）
- 如图2，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 。
（济南市中考题）
- 如图3，在中，,，则的面积为 。
（2011年昆明市中考题）
4.在中，均为锐角，,且,则的值
为
（2008年浙江省中考题）
5.如图，在中，,则=( )
- B. C. D.
（安徽省中考题）
- 如图，在图，在中，,则的值是（ ）
- B. C. D.
（2011年荆州市中考题）
- 如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为（入射角等于反射角），于，于，且,则的值为（ ）
- B. C. D.
（重庆市中考题）
- 如图，直角三角纸片的两直角边长分别为，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为,则的值是（ ）
A. B. C. D.
（泰安市中考题）
- 如图，等腰梯形中，,翻折梯形，使点重合于点，折痕分别交边于点，若，求（1）的长；（2）的正切值。
（上海市中考题）
- 如图，在中，以直径的分别交于点，点在延长线上，且。求证：
(1)直线是⊙O的切线。
(2)若，求和的长。
（2011年北京市中考题）
- 如图，在直角梯形中，.
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动。若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接，求面积的最大值，并说明此时的位置。
（济南市中考题）
能力拓展
- 若且 。
（武汉市选拔赛试题）
- 已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为 。
（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）
- 如图，等腰直角三角形中，,为的中点，将折叠，使点与点重合。若为折痕，则的值为 ，的值为 .
（第19届江苏省竞赛题）
- 如图，在中，为边上的一点，若的面积为，则= 。
（2011年四川省竞赛题）
- 如图，在梯形中，是上的一点，则的值等于（ ）。
- B. C. D.
（天津市竞赛题）
- 如图，已知为等腰直角三角形，若则和的大小关系为（ ）。
- B.
C. D.无法确定
- 已知为实数，且是关于的方程的两根，则的值为（ ）。
- B. C. D.
（全国初中数学联赛题）
- 如图，锐角中，分别是上的高，则（ ）。A. B. C. D.
- 如图，在中，分别是斜边上的高和中线，，若,求的值。
（第18届江苏省竞赛题）
- 如图，为⊙O的切线，为切点，过作的垂线，垂足为点，交⊙O于点。延长与⊙O交于点，与的延长线交于点。
（1）求证：为⊙O的切线；
（2）若，求的值。
（2011年武汉市中考题）
综合创新
- 设角为锐角，求证：,求证：
- 如图，在中，,半径长为的圆与边相交于点，与边相交于点，连接并延长，与线段的延长线交于点。
（1）当时，连接，若与相似，求的长；
（2）若，求的正切值；
（3）若，设的周长为，求关于的函数解析式。
（上海市中考题）
九年级数学 培优竞赛新方法-第8讲 抛物线 讲义学案： 这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第8讲 抛物线 讲义学案，共12页。
九年级数学 培优竞赛新方法-第7讲 转化与化归 讲义学案： 这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第7讲 转化与化归 讲义学案，共5页。学案主要包含了例题求解等内容，欢迎下载使用。
九年级数学 培优竞赛新方法-第23讲 几何定值 讲义学案： 这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第23讲 几何定值 讲义学案，共9页。
