专题02 化动为静，破解几何动态问题技能提升 2020年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题02 技能提升
1.（2020·宿迁市期末）如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点.
（1）若AC=4cm，则EF=_________cm.
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由.
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，OE、OF分别平分在，则、和有何关系，请直接写出_______________________.

图① 图②
【答案】（1）11；（2）（3）见解析.
【解析】解：
（1）∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，
∴ BD=AB－AC－CD= 20－2－4=14cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=2cm，DF=7cm，
∴EF=2+2+7=11cm；
（2）EF的长度不发生变化，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=AC，DF=DB，
∴EF=EC+CD+DF
=AC+CD+DB
=（AC+BD）+CD
=（AB－CD）+CD
=（AB+CD），
∵AB = 20cm， CD = 2cm，
∴EF =（20+2）=11cm；
（3）∠EOF=（∠AOB+∠COD）.
理由：∵OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，
∴∠COE=∠AOC,∠DOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF
=∠AOC+∠COD+∠BOD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB−∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD).
故答案为：∠EOF= (∠AOB+∠COD).
2．（2020·长沙市期末）一套三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为．

（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．
①当为何值时，边平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）85°；（2）见解析.
【解析】解：（1）当t=5秒时，由旋转知，10°×5=50°
180°-45°-50°=85°，
故答案为：85；
（2）①如图所示

∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，
∴∠APC=∠APB-∠CPB=45°-30°=15°，
由∠MPN=180°得，10t+15+60+2t=180，
解得，t=，
∴当t=秒时，边PB平分∠CPD；
②设在t秒时，∠BPD=2∠APC，t≤13.5
在t秒时，边BP对应的刻度是（135-10t）°，
边PD对应的刻度是2t°，即∠BPD=|135-12t|°
边AP对应的刻度是（180-10t）°
边PC对应的刻度是（60+2t）°，∠APC=|120-12t|°
故|135-12t|=2|120-12t|，
解得：t=或t=.
3．（2019·泰州市期末）如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点Q的运动速度；
（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P，Q两点相距70cm？

【答案】见解析．
【解析】解：
（1）∵点P在线段AB上时，PA=2PB,AB=60cm
∴AP=40 cm，OP=OA+AP=60cm，
t=60s
∵点Q是线段AB的中点
∴BQ=AB=30cm
∴CQ=BC+BQ=40cm，
∴点Q的运动速度为cm/s；
（2）设运动时间为t秒
则OP=t，CQ=3t，OC=90cm，PQ=70cm
分以下两种情况：
①当点P、Q相向而行时
t+3t+70=90，解得t=5
②当点P、Q直背而行时
点Q运动30s到点O停止运动后，点P继续运动40s，点P、Q相距70cm，此时运动时间为70s
经过5秒或70秒，P、Q两点相距70cm.
4．（2019·浙江杭州市月考）如图，数轴上点，表示的数分别为，50，现有一动点以2个单位每秒的速度从点向运动，另一动点以3个单位每秒的速度从点向运动．当时，运动的时间_______．

【答案】15秒或20秒．
【解析】解：设运动时间为t，
则P点表示的数为-40+2t，Q点表示的数为50-3t，
①P、Q相遇前，
AQ=50-3t-（-40）=90-3t，PQ=50-3t-（-40+2t）=90-5t，
则90-3t=3（90-5t），解得：t=15
②P、Q相遇后
同理，得：90-3t=3（5t-90）
解得：t=20
故答案为：15秒或20秒．
5.（2020·宜兴月考）如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：

（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；
（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；
（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．
【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4.
【解析】解：
（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，
∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，
点A在数轴上表示的数是﹣10；
（2）2t-13=3，解得：t=8；
（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：
①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8
②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6
③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；
综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．
6．（2020·锡山期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：

(1)若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则a的值为 ．
(2)若数轴上表示数a的点位于－5与2之间，则|a－2|+|a+5|＝ ．
(3)已知点M、N在数轴上，点M对应的数是－1，点N对应的数是3，令点P在点N左侧运动，在点P、M、N中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，请直接写出此时点P所表示的数．
【答案】（1）5或-1；（2）7；（3）见解析.
【解析】解：（1）2-3=-1，2+3=5
∴a=5或-1
（2）原式=2-a+（a+5）
=2-a+a+5
=7
（3）①当P在M左侧时，当PM=3MN时，P1=-13；
当PN=3PM时，P2=-3；
当MN=3PM时，P3=-；
当PN=3MN时，P4= -9；
②当P在MN之间时，当PM = 3PN时，P5=2；
当PN=3PM时，P6=0；
当MN=3PM时，P7=；
当3PN=MN时，P8=．
7．（2020·哈尔滨市月考）如图，已知数轴上有三点、、，，点对应的数是200，．
（1）点对应的数为______；点对应的数为______．

（2）如图，动点、分别从、两点同时出发向左运动，同时动点从点出发向右运动，点、、的速度分别为10个单位长度每秒、5个单位长度每秒、2个单位长度每秒，点为线段的中点，设运动时间是秒，求秒时点表示的数（用含的表达式表示）；

（3）如图，在（2）的条件下，点为线段中点，多少秒时恰好满足．

【答案】（1）-400，-100；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）由AC=2AB，得AC=2BC=600，
A点表示的数是：200-600=-400，
B点表示的数是：200-300=-100．
（2）根据题意：AP=10t，AR=2t，
则PR=AP+AR=12t
∵M是PR中点
∴MR=6t，AM=MR-AP=4t
t秒M点表示数为：-400-4t.
（3）①当点Q在点R右侧时，

AR=2t，R表示数为-400+2t，
CR=200-（-400+2t）=600-2t
∵CQ=5t
∴RQ=RC-CQ=600-7t
∵N为RQ中点
∴RN=RQ=300-t
由MR=4RN，得：
6t=4（300-t），解得：t=60；
②当点Q在点R左侧，RN=t-300，

∴6t=4（t-300），
解得t=150
故当时间为60秒或150秒时，恰好满足MR=4RN．
8．（2020·杭州市期末）如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．

（1）填空：①A、B两点间的距离________，线段AB的中点表示的数为________；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；
（2）求当t为何值时，；
（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值．
【答案】（1）①10；3；②-2+3t， 8-2t；（2）1或3；（3）5.
【解析】解：（1）①答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t；
故答案为：-2+3t，8-2t；
（2）t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，
∴|PQ|=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
∴|5t-10|=5，
解得：t=1或3.
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴|MP|=|AP|=×3t=t，
|BN|=|BP|=（|AP|-|AB|）=×（3t-10）=2t-，
∴=t-（2t-）=5．
9．（2020·成都市期中）在数轴上，点代表的数是，点代表的数是2，代表点与点之间的距离，
（1）填空
①______．
②若点为数轴上点与之间的一个点，且，则______．
③若点为数轴上一点，且，则______．
（2）若点为数轴上一点，且点到点点的距离与点到点的距离的和是35，求点表示的数；
（3）若从点出发，从原点出发，从点出发，且、、同时向数轴负方向运动，点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度，在、、同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）①∵A点代表的数是-12，B点代表的数是2．
∴AB=2-（-12）=14．
故答案为：14．
②∵点P为数轴上AB之间的一点，且AP=6，
∴BP=AB-AP=8．
故答案为：8．
③∵点P为数轴上一点，且BP=2，
∴AP=16或12．
故答案为：16或12．
（2）∵C点到点A的距离与C点到点B的距离之和为35．
①当C点在A点左侧时，AC+BC=2AC+AB=35
AC=,C点表示的数为-12-=-
②当C点在B点右侧时，AC+BC=AB+2BC=35
∴BC=，C点表示的数为2+=.
（3）①当点Q到点P、M两个点距离相等时，
-12-6t+2-2t=2（-8t），解得t=，
此时P点表示的数为，Q点表示的数为-10，M点表示的数为．
②当P点到Q、M两个点距离相等时，
8t+2-2t=2（-12-6t），解得t=-13（舍）
③当P、Q重合时，-12-6t=-8t
解得t=6，
此时P点表示的数为-48，Q点表示的数为-48,M点表示的数为-10．
10．（2020·无锡市月考）阅读下面的材料：如图，在数轴上，点A表示-10，点B表示11，点C表示18.动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=_____时，P、Q两点相遇?
（2）若点P与点O之间距离记为PO，点B与点Q之间的距离记为BQ；在点Q出发后到达B点之前，求t为何值时，BQ=2PO；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN-PC的值．
【答案】（1）（秒）；（2）秒或秒；（3）28．
【解析】
解：（1）设运动时间为t秒，PQ相遇
∵AC=18-（-10）=28，AP=2t，CQ=t
∴2t+t=AC，即3t=28，解得：t= （秒）
故答案为： （秒）；
（2）①当点P运动到O点的左边时，有
2（10-2t）=7-t，解得:t=（秒）；
②当点P运动到O点的右边时，有
2（2t-10）=7-t,解得: t=（秒）；
即t为秒或秒时，BQ=2PO；
（3）∵AP=2t，
∴P点表示的数为：2t-10，
∵N是AP的中点，
∴NP=t，
∴点N表示的数为：t-10
∴2CN-PC=2[18-（t-10）]-[18-（2t-10））]=28．
11．（2020·丽水市期末）如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．

（1）当t=2时，求∠POQ的度数；
（2）当∠POQ=40°时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20
当OQ，OP第二次相遇时，6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）由题意得：
2t+6t=120+40或2t+6t=120-40，
解得：t=20或t=10
当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）由题意得：120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
或2t –(120-6t）=(120 -6t），t=.
或2t –(6t -120）=(6t -120），t=.
存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.
12．（2020·长沙市期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为　 ；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
【答案】（1）①3，②（2）（3）见解析．
【解析】解：
（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝BOC＝75°，
∴t＝3；
故答案为3；
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOE，
即OE平分∠AOC．
（2）三角板旋转一周所需的时间为＝＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x﹣5x＝45﹣30，
解得：x＝5，
②8x﹣5x＝360﹣30+45，
解得：x＝125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴t＝＝69（秒），
综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE．
（3）由题意可知，

OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x﹣（180﹣30）＝（5x﹣90），
解得：x＝，
即经秒时，OC平分∠DOB．
13．（2020·河北沧州市期中）如图1所示，将一副三角尺AOB与COD放置在直线MN上．
（1）将图1中的三角尺COD绕O点顺时针方向旋转至图2位置，使OC旋转至射线OM上，此时OD旋转的角度为　 　；
（2）将图2中的三角尺COD绕O点顺时针方向旋转180°，
①如图3，当OC在∠AOB的内部时，求∠AOD﹣∠BOC的值；
②若旋转的速度为每秒15°，经过t秒，三角尺COD与三角尺AOB的重叠部分以O为顶点的角的度数为30°，求t的值．

图1 图2 图3
【答案】（1）90°；（2）①30°；②t为4秒或10秒．
【解析】解：
（1）此时OD旋转的角度为90°；故答案为：90°；
（2）①在三角板AOB和三角板COD中，

∵∠BOA=60°，∠COD=90°，
∵∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-∠AOC，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-∠AOC，
∴∠AOD-∠BOC=90°-∠AOC-（60°-∠AOC）=30°；
②如图，
　
∠DOB=180°-∠COD-∠AOB=180°-90°-60°=30°，
∠COB=∠COD+∠DOB=90°+30°=120°，
分两种情况讨论：
当∠BOD=30°时，

OD旋转过的角度为60°，则15t=60，∴t=4；
当∠AOC=30°时，

OC旋转过的角度为150°，则15t=150，∴t=10，
综上所述，t为4秒或10秒．
14．（2020·山东青岛市期末）如图1，点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边、在线段上，．

（1）将图1中的三角板绕着点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则________；猜想与的数量关系为________；
（2）将图1中的三角板绕着点沿逆时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒时所在的直线平分？
（3）将图1中的三角板绕着点沿逆时针方向按每秒的速度旋转一周，同时三角板绕着点沿顺时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请计算几秒时与的角分线共线．
【答案】（1）145°，180°；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）∵∠COD=90°，∠AOC=35°，
∴∠AOD=∠COD-∠AOC=55°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB+AOD=145°,
∵∠BOD=∠AOD+∠AOC+BOC，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOC+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，
∴∠AOC+∠BOD=∠=180°,
故答案为：145°，180°；
（2）根据题意可得，当旋转45°或225°时，OD所在的直线平分∠AOB，
旋转时间为：45°÷15°=3（秒），225°÷15°=15（秒），
则3秒或15秒后OD所在的直线平分∠AOB；
（3）起始位置∠COD和∠AOB角平分线夹角为90°，
①当∠COD和∠AOB角平分线夹角为180时，
15t+10t+90=180
解得:t=（秒）；
②当∠COD和∠AOB角平分线重合时，
15t+10t+90=360，
解得：t=（秒）；
③当∠COD和∠AOB角平分线重合后再次夹角为180°时，
15t+10t+90=360+180，
解得：t=18（秒）；
综上所述，秒或或18秒后∠AOB与∠COD的角分线共线．
15．（2020·衡水市期中）如图，已知∠AOB=90，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4的速度顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1的速度逆时针方向旋转． 当OC与OA成180时，OC与OD同时停止旋转．

（1）当OC旋转10秒时，∠COD=___．
（2）当OC与OD的夹角是30时，求旋转的时间．
（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．
【答案】（1）40°；（2）12秒或24秒；（3）30秒．
【解析】解：（1）当OC旋转10秒时，
∴∠AOC＝4×10＝40°，∠BOD＝1×10＝10°，
∴∠COD＝90°−40°−10°＝40°．
故答案为：40°；
（2）设转动t秒，OC与OD的夹角是30度，
①4t＋t＝90−30，

t＝12，
②4t＋t＝90＋30，

t＝24，
∴旋转的时间是12秒或24秒；
（3）设转动m秒时，OB平分∠COD，

则4m−90＝m，解得，m＝30，
∴旋转的时间是30秒．