北师大版必修5第三章 不等式综合与测试课后复习题

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易混易错练

易错点1　误用不等式的性质

1.()已知-≤α<β≤,求,的取值范围.

2.(2021福建莆田仙游一中高一上月考,)已知-1<2a+b<2,3<a-b<4,求5a+b的取值范围.

易错

易错点2　在解一元二次不等式时忽略了二次项系数的符号

3.()设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{x|x<-n或x>m}　　　　B.{x|-n<x<m}

C.{x|x<-m或x>n}　　　　D.{x|-m<x<n}

4.(2021安徽六安一中高一上段考,)设函数f(x)=kx2-6kx+k+8.

(1)若f(x)>0的解集为(-1,7),求实数k的值;

(2)解关于x的不等式f(x)>x+k+2.

易错

易错点3　在分式不等式中忽略了“分母不等于0”

5.()不等式≥0的解集为 (　　)

A.{x|x≥-1}　　　　B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|x≥-1且x≠1}　　　　D.{x|x≥1或x≤-1}

6.()解不等式:≤0(a∈R).

易错点4　忽视了基本不等式中等号成立的条件致错

7.()已知正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为(　　)

A.8　　　　B.8+4

C.8+2　　　　D.20

8.()已知正实数a,b满足a+b=1,求+的最小值.

易错

思想方法练

一、函数与方程的思想

1.()若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为 (　　)

A.　　　　B.

C.(1,+∞)　　　　D.(-∞,-1)

2.()已知不等式+++…+>·lo(a-1)+对于一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围.

深度解析

二、分类讨论的思想

3.(2021北京房山高一上期中,)已知关于x的不等式x2-(a+2)x<-2a的解集为M.

(1)当a=-1时,求M;

(2)当a∈R时,求M.

4.()解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).

深度解析

三、数形结合的思想

5.()已知实数x,y满足则z=的最大值是　　　　. 

6.()若实数x,y满足且x2+y2的最大值为34,则正数a的值为　　　　. 

7.()某家具厂有方木料90m3,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2,出售一张书桌可获得利润80元,出售一个书橱可获得利润120元.如果只安排生产书桌,那么可获利润多少?如果只安排生产书橱,那么可获利润多少?怎样安排生产可使所得利润最大?

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答案全解全析

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易混易错练

1.解析　因为-≤α<β≤,

所以-≤<,①

-<≤,②

所以-≤-<,③

所以①+②得-<<,

①+③得-≤<.

又因为α<β,所以α-β<0.

所以-≤<0.

2.解析　令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,λ,μ∈R,

∴解得

∴5a+b=2(2a+b)+(a-b).

∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4,

又3<a-b<4,∴1<2(2a+b)+(a-b)<8,

∴5a+b的取值范围为(1,8).

易错警示

同向不等式的可加性是不可逆的,故多次使用同向不等式的可加性求解时,将导致所求得的代数式的范围比实际范围大,避免出错的方法是先采用待定系数法,将所求式子用已知取值范围的式子的线性组合表示出来,然后用不等式的性质求解.

3.B　首先将原不等式化为(x-m)(x+n)<0.

由m+n>0知m>-n,

所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}.

故选B.

4.解析　(1)因为f(x)>0的解集为(-1,7),所以kx2-6kx+k+8=0的两个根为-1和7,

则解得k=-1.

(2)不等式f(x)>x+k+2,

即为kx2-6kx+k+8>x+k+2,

即为kx2-(6k+1)x+6>0,

即为(kx-1)(x-6)>0.

当k=0时,不等式为-(x-6)>0,其解集为(-∞,6).

当k<0时,不等式为(x-6)<0,其解集为.

当k>0时,不等式为(x-6)>0,

若0<k<,则其解集为(-∞,6)∪;

若k=,则其解集为{x|x≠6};

若k>,则其解集为∪(6,+∞).

易错警示

对于含有参数的一元二次不等式,常按以下方式分类讨论:

(1)若二次项系数为常数,则可先考虑分解因式,再对参数进行讨论,若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;

(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是不是零,以便确定解集的形式;

(3)对相应方程的根进行讨论,比较大小,写出解集.

5.C　因为(x-1)2≥0,所以原不等式等价于

即x≥-1且x≠1.故选C.

6.解析　∵≤0,∴ax(x+1)≤0,且x+1≠0.当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0,

∴x(x+1)≤0且x+1≠0,∴-1<x≤0,

∴原不等式的解集为{x|-1<x≤0};

当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};

当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0,

∴x(x+1)≥0且x+1≠0,∴x<-1或x≥0,

∴原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

7.B　因为a+2b=1,所以+=(a+2b)·=8++≥8+2=8+4,当且仅当=,即b=a时取等号.

又因为a+2b=1,所以当且仅当a=,b=时取等号.故选B.

8.解析　由题得,+=a2+b2+++4=(a2+b2)+4=[(a+b)2-2ab]+4=(1-2ab)·+4,

由a+b=1,得ab≤=当且仅当a=b=时,等号成立,

所以1-2ab≥1-=,且≥16,

所以+≥×(1+16)+4=,

所以+的最小值为.

易错警示

多次应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则要试着对原式进行适当的拆分或合并,直到同时取到等号为止.

思想方法练

1.A　原不等式可变形为a>=-x+,设y=-x+,则y=-x+在区间[1,5]上为减函数.当x=1时,y=-x+的值为1;当x=5时,y=-x+的值为-.

构造关于x的函数,利用函数的单调性求最值.

由于题目是存在性问题,因此a>-.故选A.

2.解析　令f(n)=++…+(n≥2,n∈N+),

构造函数f(n),将问题转化为函数的最值求解.

则f(n+1)=+…+++.

∵f(n+1)-f(n)=+-=-=>0,

∴f(n+1)>f(n),∴f(n)为单调递增函数,

又∵n≥2,∴f(n)的最小值为f(2)=.

由题意知,>lo(a-1)+,

∴lo(a-1)<-1,∴a-1>2,∴a>3.

∴实数a的取值范围是(3,+∞).

思想方法

函数思想是指用联系和变化的观点分析问题,通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来,运用函数的概念、图像、性质等对问题加以研究,使问题得以解决.方程思想是指将问题中的条件转化为对应方程(组),通过解方程(组)或对方程的讨论使问题得以解决.在本章中,常利用二次函数、二次方程与二次不等式这“三个二次”间的关系解一元二次不等式,通过构造函数解决不等式恒成立或有解的问题;通过构造方程解决线性规划中的含参问题,这些都是函数与方程思想的具体体现.

3.解析　(1)当a=-1时,不等式为x2-x<2,整理得x2-x-2<0,所以(x-2)(x+1)<0,所以解集M为(-1,2).

(2)当a∈R时,x2-(a+2)x<-2a整理得x2-(a+2)x+2a<0,所以(x-2)(x-a)<0.

当a=2时,(x-2)2<0,解集M为⌀;

当a>2时,解集M为(2,a);

当a<2时,解集M为(a,2).

对a与2的大小进行分类讨论,得到不同的解集.

4.解析　原不等式可变形为ax2+(a-2)x-2≥0(a∈R).

由于二次项系数a为参数,因此对a是不是0进行分类讨论.

(1)当a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1}.

(2)当a≠0时,原不等式可变形为(ax-2)·(x+1)≥0,方程(ax-2)(x+1)=0的解为x1=,x2=-1.

当a≠0时,对a>0,a<0再次分类讨论.

①当a>0时,>-1,此时原不等式的解集为xx≥或x≤-1.

②当a<0时,分以下三种情况:

当-2<a<0时,<-1,此时原不等式的解集为;

当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-1};

当a<-2时,>-1,此时原不等式的解集为.

综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};

当a>0时,原不等式的解集为;

当-2<a<0时,原不等式的解集为;

当a=-2时,原不等式的解集为{x|x=-1};

当a<-2时,原不等式的解集为.

思想方法

分类讨论是一种重要的数学思想,在本章中,解含参数的不等式时,必须注意参数的取值范围,并在此范围内对参数进行分类讨论,讨论时要注意不重不漏.

5.答案　

解析　画出可行域如图中阴影部分所示.

由题得z==+-1.

由图可知=∈[kOC,kOA]=.令t=,则z=t+-1,∴z(1)≤z≤z,即1≤z≤,故z的最大值是.

将视为直线的斜率,数形结合,直观得到t

的取值范围.

6.答案　

解析　在平面直角坐标系中画出已知不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分),

其中直线ax-y-a=0(a>0)的位置不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为a(a>0).由于x2+y2=()2,且x2+y2的最大值为34,因此平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于.

从x2+y2的几何意义入手求解,体现了数形结合的数学思想.

由解得即M,所以OM=<,所以点P到原点的距离最大,由解得即P,故+9=34,解得a=或a=-(舍去).

7.解析　(1)只安排生产书桌时,因为90÷0.1=900,600÷2=300,

所以可生产书桌300张,用完五合板,此时获得的利润为80×300=24000(元).

(2)只安排生产书橱时,因为90÷0.2=450,600÷1=600,所以可生产书橱450个,用完方木料,此时获得的利润为120×450=54000(元).

(3)若既安排生产书桌,也安排生产书橱,则设安排生产书桌x张,安排生产书橱y个,可获利润z元,则

目标函数z=80x+120y,作出可行域如图中阴影部分所示(为整点),并作直线l:80x+120y=0,即2x+3y=0,将直线l向右平移,当l经过点B时,z取得最大值.

解方程组得最优解为

此时,zmax=80×100+120×400=56000.

结合约束条件画出可行域,以形助数.

综上所述,如果只安排生产书桌,那么可获得的利润为24000元;如果只安排生产书橱,那么可获得的利润为54000元;当安排生产书桌100张,书橱400个时,刚好用完方木料和五合板,且此时获得最大利润,最大利润为56000元.

思想方法

数形结合思想方法在本章中常用于解不等式,线性规划等问题.