2022届四川省雅安市高三上学期学业质量监测（零诊）数学（理）试题（含解析）

雅安市高2019级高三学业质量监测

理科数学

本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.所有题目必须在答题卡相应位置上作答，选择题用铅笔将对应答案标号涂黑.非选择用毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡上指定区域，在试题卷上答题无效.

3.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数，则（    ）

A.    B.1    C.    D.

3.按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种.那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（    ）

A.5种    B.6种    C.8种    D.9种

4.某学习研究小组为了考察学校军训期间的矿泉水需求量林泉水件数（单位：件）与同时军训的班级数量（单位：个）之间的相关关系，得到了如下散点图.若根据该散点图求出的回归直线方程为，则的值是（    ）

A.    B.8    C.5    D.3

5.对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系.观察下表：

已知是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数（假设一年365天），根据表中数据，计算，则一定落在区间（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，侧视图和正视图相同，则该几何体的表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知球的半径为是球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

9.已知直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，交椭圆C于点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知函数若的图象与轴恰好有2个交点，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域.如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且.已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知函数，且是偶函数，则的最小值是（    ）

A.    B.    C.12    D.16

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数在的切线方程为__________.

14.的展开式中按的升幂排列的第三项为__________.

15.已知单位向量满足的夹角为，且，则实数__________.

16.已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.

17.（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）定义：记，求数列的前20项和.

18.（12分）已知函数.

（1）求函数的最小正周期和对称中心；

（2）在中，角的对边分别为，其中的面积为，求的值.

19.（12分）如图，在长方体中，，点是的中点，在上，且.若过的平面交于，交于.

（1）求证：平面；

（2）若点是的中点，求平面与平面所成角的正弦值.

20.（12分）今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟.某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间内，书面作业时长的频率分布直方图如下：

（1）若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状.请问：根据这次调查，该市应该如何决策？

（2）调查统计时约定：书面作业时长在区间内的为层次学生，在区间内的为层次学生，在区间内的为层次学生，在其它区间内的为层次学生.现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自个不同层次，求随机变量的分布列及数学期望.

21.（12分）已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若有两个不同的零点，求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数，对，有，求实数的取值范围.

雅安市2021学年高中三年级零诊模拟试题

数学（理科）参考答案

一､选择题

1.D   提示：由，得，所以.选D.

（改编自必修1第一章第12页习题组第6题）

2.C   提示：选C.

3.B   提示：第一步选择接种点位，有3种选择：第：步选择疫苗，有2种选择，由乘法原理知，共有3x2=6种选择的安排方法.：.选B.

（原创，思路源自选修2-2第一章第4页）

4.D   提示：回归直线必过样本中心点即，代入计算得.：选

D.

（原创，思路源自必修3第二章第90页例题）

5.B   提示：根据表中数据知，

，且，.一定落在区间内.选B

（原创，思路源自必修1第二章第68页阅读与思考）

6.C   提示：由：视图知，该几何体是，个半径为2的球体嵌入了.半在棱长为1的正方体中，：.该几何体表面积为

选C

（原创，该几何体源自必修2第37页复习参考题B组第2题图）

7.A   提示：方法一，，选A

方法二，

，得，平方得，即选A

8.C   提示：的外接圆半径为从而三棱锥的高为

选C

（编，2021年全国甲卷第11题）

9.A   提示：方法一，设椭圆的右焦点为，连接.

直线经过椭圆的左焦点，

又

在中，由余弦定理可得，即.

又，

椭圆的离心率.故选.

方法二，在中，由，据余弦定理得.

下同法一.

方法三，由直线，知.

，即

在椭圆的上，

选.

（改编题目）

10.D   提示：令，得或.由，得.结合函数定义域有.结合的图象易得时，的图象与轴恰好有2个交点.选.

11.B   提示：法一，由题意，得面.设记，

，解得或，又在中有选.

法二，由题，面.设，则.由

，在中，由余弦定理得，解得，进而选B.

（原创，思路来源于2021年全国甲卷理科第8题）

12.A   提示：法一，是偶函数，关于对称.已知有根为1和另外两根必为3和5，即方程的两根为3和

，设，则，易知当且仅当，即时，取到最小值选.

法二，是偶函数，关于对称.已知有根为1和另外两根必为3和5，即方程的两根为3和

.把的图象向左平移2各单位，得

，当且仅当时，取到最小值-16.易知和在上的最小值相同，的最小值为选.

法三，依题意，为偶函数，展开式中的系数为，由，得.又的系数为，由，得..令，得是偶函数，关于对称，即是的根，将分解为，可知在和处取到最小值，代入，可知最小值为选.

（改编自2013年新课标1卷理科第16题）

二､填空题

13.   提示：又切点坐标为切线方程为：.

14.   提示：题意即展开式中的项为按的升幂排列的第三项为.

（改编自选修2-3第一章49页复习参考题A组8（1）题）

15.   提示：

（原创，思路源自2021年全国甲卷理科第14题）

16.   㮛示：问题等价于在上

有公共点.的含义是过线段和

抛物线弧上各一点的直线如图，其中

.

三､解答题

（一）必考题

17.解：（1）由题意，当时，.

两式相减，得，即.

是首项为3，公比为3的等比数列.

.

设数列的公差为，

.

.

（2）由.

（改编题目）

18.（1）由题

最小正周期.

由.

的对称中心是.

（2）.

又

为锐角，.

.

（原创，思路源自必修4第三章132页练习6（2）和必修5第一章习题A组第11题（1）小题）

19.（1）平面，平面，

平面

又平面，平面

平面

（2）如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间

直角坐标系

则

得，.

设下面的法向量为，则

仅，则，得

又平面的法向量为

与正面所成二面角的正弦值为.

（改编自2019年全国皿卷理科第17题）

20.解：（1）作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为.

.

，

.

解得，即中位数的故计值分钟.

又作业时长平均数估计值为

.

因为中位数的估计值250分钟大于平均数估计值81分钟，

所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策

（2）由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A，B，C三个层次.

各层次抽取的人数分别为3，3，2.

的所有可能值为1，2，3.

又

的分在列为

数学期望

（改编题目）

21.解：（1）当时，，

由，得的单调增区间为；

由，得的单调减区间为.

（2）由题意.得有两个根有两个根.令由.

在上单调递增，在上单调递减.

有两个不同的零点.不妨设.

法一，要证明：，

需证：.

需证：.（※）

又

今，且，

得

令，得

在上单调递增，，即.

在上单词递增，注：）.

（※）式成立.

法二，要证明：，

需证：.

需证.

.

需证.

需证.

需证.（※）

今，得

在上单调递增，

（※）式成立.

（改编题目）

（二）选考题

22.解：（1）由线平方相减，消去参数点，得.

，

.

直线消去，得，

即.

（2）把代入，得

，设对应的参数值为.

在直线上，

（改编题目）

23.解：（1）当时，.

在，则.

若.则.

若，则.

综上，等式的解集为.

（2）对，有.

.

，又.

，或.

实数的取值范围是.

（改编题目）