2021届重庆市高三下学期3月联考数学试题（含解析）

2021届重庆市高三下学期3月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合的交补运算求解即可．

【详解】因为，

，

又，

所以.

故选：A.

2．已知复数，则（    ）

A．2 B． C．4 D．6

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以，所以

所以．

故选：D

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.

【详解】由，得，所以，

从而

故选：B

4．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过函数的定义域判断选项C，通过函数的奇偶性判断选项B，当时，通过函数的正负判断选项A，即可得出结果.

【详解】因为，

所以的定义域为，

则，故排除C；

而，

所以为奇函数，

其图象关于原点对称，故排除B；

当时，，，所以排除A．

故选：D．

5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（    ）

A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5

B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分

C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高

D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大

【答案】C

【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.

【详解】对于A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，

所以极差为，A错误；

对于B，两班的德育分相等，B错误；

对于C，高三（1）班的平均数为，

（2）班的平均数为，故C正确；

对于D，两班的体育分相差，

而两班的劳育得分相差， D错误，

故选：C．

6．已知抛物线的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若的中点到y轴的距离为3，则直线的斜率为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】由的中点到y轴的距离为3可求得，得出点坐标，即可求出斜率.

【详解】的中点到y轴的距离为3，

，即，解得，

代入抛物线方程可得，

因为F点的坐标为，所以直线的斜率为．

故选：B.

7．设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点在C的左支上，且，则的面积为（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据已知条件可以求出，由双曲线的可得点在以为直径的圆上，利用时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】由，

不妨设，，

所以，所以点在以为直径的圆上，

即是以为直角顶点的直角三角形，

故，即．

又，

所以，

解得：，

所以．

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件分析出是直角三角形，再利用勾股定理和双曲线的定义求出的值.

8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）

A．960 B．1024 C．1296 D．2021

【答案】C

【分析】排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，（2）“丝”不被选中，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】由题意，排课可分为以下两大类：

（1）“丝”被选中，不同的方法总数为种；

（2）“丝”不被选中，不同的方法总数为种．

故共有种．

故选：C

9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】将函数转化为，再由平移变换得到，然后逐项判断.

【详解】因为．其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．所以的最小正周期为，故A正确；

当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，所以在间上不单调，故C错误；

当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确．

故选：C

二、多选题

10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，侧棱长为米，则（    ）

A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米

C．正四棱锥的侧面积为平方米 D．正四棱锥的侧面积为平方米

【答案】AC

【分析】利用已知条件画出图像，设O为正方形的中心，为的中点，设底面边长为，利用线面角的定义得出，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积即可.

【详解】

如图，在正四棱锥中，

O为正方形的中心，为的中点，

则，

设底面边长为．

因为，

所以．

在中，，

所以，底面边长为6米，

平方米．

故选：AC.

11．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（    ）

A．可能是家常菜青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾

C．可能是烹制西式点心 D．可能是烹制中式面食

【答案】BD

【分析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可得出选项.

【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，

则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；

若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；

若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；

若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件．

故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，

所以选：BD．

12．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】BC

【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.

【详解】因为的两根为，

所以，

从而．

令，

则，．

因为，

所以，

所以在上恒成立，

从而在上单调递增．

又，

所以，

即的取值范围是，

故选：BC．

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.

三、填空题

13．已知平面向量，非零向量满足，则__________．（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）

【答案】

【分析】设，根据，代入公式，即可求得满足题意的答案.

【详解】设，因为，所以，可取．

故答案为：

14．已知，则的最小值为__________．

【答案】16

【分析】根据题意由展开利用基本不等式可求解.

【详解】因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为16.

故答案为：16.

15．已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．

【答案】3

【分析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.

【详解】由，可得．

因为，所以，即，则，

所以，．

故答案为：3.

16．在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为_________．

【答案】

【分析】首先作平面，垂足为H．连接，得到，，从而，根据四棱锥的体积为，得到，再设出外接球的球心，得到方程，解方程再求外接球体积即可.

【详解】如图所示：

作平面，垂足为H．连接，则H为的中点．

设，则，，从而，故四棱锥的体积为，解得．

由题意可知正四棱锥外接球的球心O在上，连接．

设正四棱锥外接球的半径为R，

则，即

解得，故该四棱锥外接球的体积为．

故答案为：

四、解答题

17．已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和

【答案】（1）；（2）．

【分析】法一：（1）将，和都表示成和的形式，代入等比中项，求出，进而求出通项公式；（2）代入数列的通项公式则，裂项相消求即可.法二：（1）利用前项和的性质，可得，代入等比中项可得，化简，再代入和，计算可得，从而求得通项公式；（2）同法一.

【详解】解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，

所以．

又，所以，即，

解得或（舍去），

所以．

（2）因为，

所以

．

法二：（1）因为数列是公差为4的等差数列，且为的等比中项，

所以，从而．

因为，所以，即，

解得，

所以．

（2）第二问解法同上．

【点睛】易错点睛：本题考查裂项相消求和，要注意裂项时配凑的系数和消项时保留的项数.

18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

（1）求的值；

（2）若点D为边的中点，，求的值．

【答案】（1）4；（2）．

【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；

（2）作边上的高，垂足为E，因为，所．

又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

即．

又，

所以．

（2）如图，作边上的高，垂足为E，

因为，所以．

又，所以．

因为点D为边的中点，，所以．

在直角三角形中，，所以．

在直角三角形中，，所以．

19．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、锦、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图

（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；

（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．

【答案】（1）从轻度污染的行政村中抽取个，从中度污染的行政村中抽取个，从重度污染的行政村中抽取个；（2）5．

【分析】（1）根据题意，轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共个，再根据分层抽样分别算出所抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数即可；

（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，写出每算出一个数据的概率，得出分布列，再根据期望公式即可得解.

【详解】（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共个，

所以从轻度污染的行政村中抽取个，从中度污染的行政村中抽取个，从重度污染的行政村中抽取个．

（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7．

，

，

，

，

．

所以X的分布列为

所以．

20．如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，D是的中点．

（1）证明：平面．

（2）若，求二面角的余弦值

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1），连接，由三角形的中位线可得，进而可得平面.

（2）故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．平面的法向量为，平面的一个法向量为,进而可得结果.

【详解】（1）记，连接．

由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点．

因为D是的中点，所以．

因为平面平面，所以平面．

（2）因为底面是等边三角形，D是的中点，所以，

由直棱柱的性质可知平面平面，则平面．

取的中点F，连接，则两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，从而．

设平面的法向量为，

则令，得．

平面的一个法向量为，

则．

设二面角为，由图可知为锐角，则．

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过的直线l与C交于A，B两点，若，求．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题得，，又，解方程可得，从而得椭圆的方程；

（2）当直线l的斜率不存在时，，所以，直线l的斜率存在时，设其为，联立方程并由韦达定理求出的式子得，求得，同理得出，求出，即可得.

【详解】解：（1）因为椭圆C过点，

所以．①

又椭圆C的离心率为，所以，

故．②

联立①②得解得故椭圆C的标准方程为．

（2）当直线l的斜率不存在时，，所以，

故直线l的斜率存在，设直线．

联立消去y并整理得，

则．

，

同理．

因为，解得，

所以，

又因为，所以．

【点睛】易错点睛：第二问未讨论直线斜率不存在的情况，第二问中，直线l的方程为也可以设为进行求解.

22．已知函数

（1）若在上是减函数，求实数m的取值范围；

（2）当时，若对任意的，恒成立，求实数n的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得对于恒成立，分离转化为最值即可求解；

（2）由题意可得恒成立，即，构造函数，利用导数判断其单调性可得与的关系，分离即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

由题意可得对于恒成立，即，

可得，所以

所以实数的取值范围是．

（2）对任意的，恒成立，

即恒成立，即恒成立．

因为，所以，易知在上单调递增，且在上，所以，即对任意的恒成立．

令，则，

当时，；当时，．

则在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，显然，

故实数n的取值范围是．

【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法

（1）分离参数法

若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.

（2）数形结合法

结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.

（3）主参换位法

把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.