2021届陕西省西安中学高三下学期第十次模拟考试数学（理）试题（含解析）

2021届陕西省西安中学高三下学期第十次模拟考试

数学（理）试题

一、单选题

1．若z=1+i，则|z2–2z|=（    ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得：，则.

故.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

2．已知集合，集合，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合A，再根据交集定义即可解出.

【详解】，

.

故选：C.

3．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式可以判断函数是偶函数，然后取不同的x值，验证函数图像即可.

【详解】设

，则函数为偶函数；

，，

则函数应存在一段从负到正的曲线，对比选项，C正确.

故选：C.

4．若的展开式中的系数为30，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】展开式的通项公式为：，

令，得，所以项的系数为，

令，得，所以项的系数为，

所以的展开式中的系数为，解得.

故选：B.

5．已知直线，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由解得或.由，解得，再根据充分必要条件的定义判断可得选项.

【详解】∵直线，

当“”时，直线，不满足，

当“”时，直线，不满足，

∴当时，则，解得或.

而由，解得，

所以由“”能推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件.

故选：A.

6．已知函数，，的图象如图所示，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.

【解析】基本初等函数的图象.

7．从名男同学和名女同学中选人去参加一个会议，规定男女同学至少各有人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：

①；②；③.

则其中正确算式的个数是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】①错，计算有重复；

②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；

③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女.

故选：C.

【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

8．已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是( )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】f(x)=sinx+acosx=sin(x+)（cos=）,

∵x=为函数f(x)图象的一条对称轴,

∴π+=kπ+(k∈Z),

又cos>0,

∴取=-,

则cos=,

∴=.

∵g(x)=sin(x+θ)（cosθ=）,

∴g(x)max==.故选B.

9．已知D=，给出下列四个命题：；；；.其中是真命题的是（    ）

A．p1，p2 B．p2，p3 C．p3，p4 D．p2，p4

【答案】D

【分析】：分析目标函数的取值情况；：分析目标函数的取值情况；：根据斜率分析目标函数的取值情况；：根据点到点的距离分析目标函数的取值情况.

【详解】可行域为一个及其内部，其中，

所以直线过点时取最小值；过点时取最大值；

斜率的最小值为；到原点距离的平方的最小值为，

所以真命题有，

故选：D.

【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：

（1）表示点与点连线的斜率；

（2）表示点到点的距离；

（3）表示点到直线的距离的倍.

10．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论､方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.

【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即，

由几何概型得，从而.

故选：A.

【点睛】利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．

11．设椭圆的左、右焦点分别为 ，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题设可得，即，解之得，即；结合图形可得，即，应选答案B．

点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点代入椭圆方程得到，即，解之得，从而求得，然后再借助与椭圆的几何性质，建立了不等式，进而使得问题获解．

12．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】观察式子特点，即

，构造函数，

利用（0，+∞）上为增函数，且，结合选项特点，

，从而得解.

【详解】解：由，得

，

设，

则

设，则在（0，+∞）上为增函数，且，

则当时，，此时，此时函数为增函数，

当时，，此时，此时函数为减函数，

由，即，即，

由，得，即，

由，得，即，

故选：A

【点睛】根据题中信息及选项特点，知需要构造函数，利用函数的单调性来解决，注意构造的函数是否符合题目要求.

二、填空题

13．已知，向量，与的夹角为，则___________.

【答案】3

【分析】由定积分求出，根据向量数量积的定义求解即可.

【详解】因为，

所以，

故，

所以，

故答案为：3

14．已知，设函数，则______．

【答案】5

【分析】先求出函数的定义域，再求出，再通过换元，利用二次函数的图象和性质求解.

【详解】解：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]，

，

设，，

则，在[0，1]上为增函数，

∴当即时，，

当即时，，

∴．

故答案为：5．

【点睛】易错点睛：本题容易忽略求函数的定义域导致出错.函数的问题，要注意定义域优先的原则.

15．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】分别求出所对应的概率，由数学期望计算公式可构造不等式求得结果.

【详解】由题意得：，，，

，

由得：，解得：或（舍），

.

故答案为：.

16．在中，角，，的对边分别为，，．已知，则的最小值为_______．

【答案】

【分析】化简已知得，所以，再利用基本不等式求解.

【详解】解：由题意可知，，

化简得，

所以．

根据正弦定理：，可得①．

，由①可得，

所以，

当时，等号成立．所以的最小值为．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

三、解答题

17．已知数列，满足，，.

（1）证明：是等比数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由等比数列的定义即可证明；

（2）由错位相减法可求.

【详解】（1）依题意，.

又.

故为首项，公比的等比数列.

（2）由（1）可知.

所以.

  ①

  ②

①-②得

，

故.

18．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为线段，上的点，且，，.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结果；

（2）先由题意得到，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.

【详解】(1)由题意知，，，

所以，

所以，所以，

又易知，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

因为平面平面，交线为，

所以平面，所以，

因为，，

所以平面；

(2)由(1)知，，两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系，

因为直线与平面所成的角为，即，所以，

则，，，，

所以，，．

因为，，所以，

由(1)知，所以，

又平面，所以，

因为，

所以平面，

所以为平面的一个法向量．

设平面的法向量为，则，

所以，令，得，，

所以为平面的一个法向量．

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，

故平面与平面所成的锐二面角为.

【点睛】本题主要考查证明线面垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理，以及二面角的空间向量的求法即可，属于常考题型.

19．永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.

附：成品醋的品质采用指标值进行评价，评价标准如下表所示.

（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为，求的分布列；

（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润多少（单位：元）与指标值的关系为，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？

【答案】（1）答案见解析；（2）8件.

【分析】（1）由题可得的取值可能为0，1，2，求出取不同值的概率即可得出分布列；

（2）求出改良前成品醋利润的数学期望，求出改良后的利润最小值，建立不等关系可求.

【详解】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个，其中改良前的有15个，改良后的有5个.

则.

；；.

故的分布列为：

（2）由样本估计总体的思想，

改良前成品醋利润的数学期望；

若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长”，

则改良后的利润期望至少应为.

假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有个，

则改良后的一等品有个，二等品有个.

改良后成品醋利润的数学期望.

依题意，.

求得，

又，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8件.

20．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，折线与交于，两点.

（1）当时，求的值；

（2）直线与交于点，证明：点在定直线上.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设点关于轴的对称点为，设直线与椭圆相交于，两点，联立直线与椭圆，利用弦长公式可求；

（2）联立直线与椭圆，表示出直线与方程，求出交点坐标即可得出.

【详解】（1）由已知可得，设点关于轴的对称点为，

则，

如图，不妨设直线与椭圆相交于，两点，

设，，

联立，可得，即，

所以，，

故

.

（2）由已知可得，，，，，

不妨设直线与椭圆相交于点，，

联立，可得，即，

所以，，

且.

直线：，

直线：，

联立两直线方程，消去可得，

即，

所以，，

即点在定直线上.

21．已知函数（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在（0，+∞）上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：（）

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）；（3）证明见解析．

【分析】（1）求导得，根据参数的取值判断导函数的正负，进而判断原函数的单调性；（2）结合（1）得到只能，要想在（0，+∞）上恒成立只需，构造函数，求导判断新函数的单调性得到最大值，最后求出的取值范围；（3）根据（2）中不等式，分别赋值和得到不等关系，最后利用裂项相加求和即可证明不等式.

【详解】解：（1）因为函数，其定义域为（0，+∞）

所以

即

当时，,所以增区间为（0，+∞）；

当时，令得，

当时，，所以减区间为，

当时，，所以增区间为；

综上：当时， 增区间为（0，+∞）；

当时， 减区间为，增区间为；

（2）1°当时，函数增区间为（0，+∞），

此时不满足在（0，+∞）上恒成立；

2°当时，减区间为，增区间为，

要使在（0，+∞）上恒成立，

只需即可，

即，

令（）

则，

解得，因此在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

所以当时，取最大值0，

故在（0，+∞）上恒成立，

当且仅当时成立，即；

（3）由（2）知，令时，（）

∴（）

∴

令，则（）

∴（）

∴

综上：成立．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若点，为曲线上两点，且满足，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数），

其中，

所以，根据转换为极坐标方程为．

（2）设，，，

故，

不妨设，

故，

当时，的最大值为．

23．已知函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若对任意，恒成立，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）构造函数，然后根据的范围进行分类讨论：、、，分别求解出的解集，由此求解出结果；

（2）采用换元法令，然后将问题转化为“对于恒成立”，再根据、进行分类讨论，由此求解出结果.

【详解】解：（1）令，由题意可知，，

则，

当时，恒成立，

当时，，解得，所以，

当时，不成立，

综上所述：实数的取值范围是；

（2）对恒成立，

令，则，

所以对于恒成立，

即对于恒成立，

即对于恒成立，

若，对于恒成立，

若，代入式子，可得，不符合题意，

综上所述，的取值范围为，即的最小值为．