【高1数学】002-四种命题的形式、充分条件与必要条件

这是一份【高1数学】002-四种命题的形式、充分条件与必要条件，共24页。试卷主要包含了基础知识概述，重点知识归纳及讲解，难点知识剖析等内容，欢迎下载使用。

p

真





四种命题的形式、充分条件与必要条件
基础概念
一、基础知识概述



本周主要学习了四种命题的形式， 充分条件与必要条件等相关概念，
分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件


及反证法的思想． 充
p 和结论 q之间


的关系．本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定
的两个命题的充要关系．

二、重点知识归纳及讲解

1、命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题．
2、简单命题与复合命题：

简单命题：不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，简单命题一
般不能分解出其它的命题，通常简单命题难以划分条件和结论，因此简单命题的真假判断不

能依靠命题逻辑推理，其真假只能依据客观事实或生活经验自行判断。以下命题均是简单命
题。

1+1=2, 5>3, 雪是白色的，今天没有下雨。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
简单命题通过 "非" 、“或”、“与”、“蕴含”以及“等值”这些命题连接词（亦称逻辑连
接词）而组成的命题称为复合命题。日常生活中的“如果……那么 "、”只有……才“、”不
但……而且“、”虽然……但是“、”当且仅当 "、“只有……”等连接词语均可符号化为最


基本的五种命题连接词。 以下例子都是复合命题：
整数。

3、判断复合命题的真假：
（ 1）“非 p ”形式复合命题的真假可以用下表表示： p

真
假

即一个命题的否定与原命题的真假相反．
（2）“ p 且 q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：
q

真


1

5≥3， 如果 x 是整数，那么 x+3 也是










非 p

假
真






p 且 q
真

真 假 假
假 真 假
假 假 假
真 真 假 假
真 假 真 假

















即当 p、 q 为真时， p 且 q为真；当 p、 q 中至少有一个为假时，
（ 3）“ p 或 q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q p 或 q

p 且 q 为假．
















即当 p、 q 中至少有一个为真时，













p或 q 为真；当

真

真
真

假
p、 q都为假时， p 或 q 为假．

4、原命题：若 p则 q （ p 是原命题的条件， q是原命题的结论）； 逆命题：若 q则 p （交换原命题的题设和结论）；
否命题：若非 p 则非 q （同时否定原命题的条件与结论）；
逆否命题：若非 q则非 p （交换原命题的题设和结论后同时否定之）．

四种命题及相互关系用图表表示为：
































说明：
①原命题、否命题、逆命题和逆否命题是相互的．
②写原命题的否命题、 逆命题和逆否命题的关键是：







找出所给原命题的条件 p 与结论 q．



5、反证法：欲证“若
理得出矛盾，从而“非






p 则 q ”为真命题，从否定其结论“非 p ”出发，经过正确的逻辑推
p ”为假，即原命题为真，这样的方法叫反证法．



2







证题的步骤：
（ 1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（ 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

说明：

反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法
比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．反证法的基本思想：通过证明命题的否定


是假命题，从而说明原命题是真命题．

6、推断符号“ ”的含义：
由 p经过推理可以得出 q ，即如果 p成立，那么 由 p经过推理得不出 q ，即如果 p 成立，推不出
7、充分条件与必要条件：






q 一定成立，此时可记作“ p q ”；
q 成立，此时可记作“ p q”．

一般地，如果已知 p q ，那么就说： p 是 q 的充分条件； q 是 p 的必要条件．

8、充要条件：


一般地， 如果既有 p q，又有 q p，就记作： p
表示 p q且 q p ．这时 p 既是 q 的充分条件，又是

要条件，简称充要条件．

9、充分条件与必要条件的分类：
命题按条件和结论的充分性和必要性可分为四类：
若 p q但 q p ，则 p是 q 的充分不必要条件；
若 q p但 p q ，则 p是 q 的必要不充分条件；

q．“ ”叫做等价符号． p q
q 的必要条件，则 p是 q 的充分必



若 p q且 q
若 p q 且 q

10、从集合角度理解：

p ，则 p是 q 的充要条件；
p ，则 p是 q 的既不充分也不必要条件．
























3


































① p q ，相当于 P Q ，即 或






























即：要使 x Q 成立，只要 x P 就足够了 —— 有它就行．




























②q p ，相当于 P Q ，即 或


4




































即：为使 x Q 成立，必须要使 x P —— 缺它不行． q p等价于 p q．




























③ p q ，相当于 P Q ，即

即：互为充要的两个条件刻划的是同一事物．
三、难点知识剖析

本节的难点主要是充要条件的判断，其解决方法主要有：
1、要理解 “充分条件” “必要条件” 的概念， 当“若 p 则 q ”形式的命题为真时， 就记作 p q， 称 p 是 q 的充分条件，同时称 q是 p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判
断命题的真假．



2、要理解“充要条件”的概念，对于符号“ ”要熟悉它的各种同义词语：
“当且仅当”，“必须并且只需”，“ ，反之也真”等．

3、 数学概念的定义具有相称性， 即数学概念的定义都可以看成是充要条件，
依据，又是概念所具有的性质．


5

“等价于” ，




既是概念的判断

0

0

0

0
甲

1

0

1

0
乙

0

1

1

1






4、 从集合观点看， 若 A B， 则 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必要条件； 若 A B， 则 A、

B 互为充要条件．
5、证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立（即条件的充分性），又要证明它的逆命



题成立（即条件的必要性）．





例 1、 （1）“ ABC中，若 C

A． ABC 中，若 C 90 ，则
B． ABC 中，若 C 90 ，则
C． ABC 中，若 C 90 ，则
D ．以上都不对



典型例题
90 ，则 A、 B 都是锐角”的否命题为（ ）

A、 B 都不是锐角
A、 B 不都是锐角
A、 B 都不一定是锐角


（2） 用反证法证明命题： 若整数系数一元二次方程 ax2 bx c 0 ( a 0) 有有理根，那么

a、 b、 c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）
A ．假设 a、 b、 c都是偶数 B ．假设 a、 b、 c都不是偶数
C．假设 a、 b、 c至多有一个是偶数
D ．假设 a、 b、 c至多有两个是偶数
（ 3）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：



“我获奖了” ； 乙说： “甲、 丙未获奖” ； 丙说： “是甲或乙获奖” ； 丁说：
位歌手的话只有两句是对了，则是 _______获奖了．

解析：
（ 1）由命题之间的关系易选 B；
（2）“至少有一个”的反面是“一个都没有”，故选 B；
（ 3）设获奖用“ 1”表示，未获奖用“ 0”表示，则依次四人的话列表如下：

丙
甲：甲获奖
乙：甲、丙未获奖

丙：甲或乙获奖

丁：乙获奖

由表可知，只有第一列符合四位歌手的话只有两句是对的，故是甲获奖了．
答案： （1） B ；（ 2） B；（ 3）甲

“是乙获奖” ． 四
















丁

0

1

0

0




例2、 （上海）（ 1） a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 均为非零实数，不等式

6

a1x2 b1x c1 0 和

a2 b2 c2
a2 b2 c2
a2 b2 c2
3
∴ p : { x | x
3
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a2 b2 c2
a2 b2 c2
x x 2
）







a2x2 b2 x c2 0 的解集分别为集合 M 和 N，那么“ ”是“ M N ”的（ ）


A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件



C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
（2）已知 p :| 3x 4 | 2， q : 2 1 0 ，则 p 是 q 的（

A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件



C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解析：


（ 1） a b1 c1 0 ”， 则“ M N ”， 如果“ a1 b1 c1 0 ”， 则“ M N ”，
如果“ 1



所以“ a1 b1 c1 ” “ M N ”，反之若“ M N ”，即说明二次不等式的解



集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．所以“ M N ”



“ a1 b1 c1 ”，因此“


（2） 解法一：

a1 b1 c1 ”是“ M N ”的既不充分也不必要条件．




∵ p : { x | x 2或x 2}， q : { x | x

2 2} ， q : { x | 1


2或x 1}．

x 2} ．



∴ p q，
解法二：
由法一知，∴ q
必要条件．

q p ．∴ p 是 q 的充分不必要条件．



p， p q ．∴ p q， q p．即： p 是 q 的充分不




答案： （1） D （2） A

例3、 已知命题 p: 方程 x2 mx 1

4x2 4(m 2)x 1 0 无实根；若

分析：




0 有两个不相等的实负根．命题 q:方程

p 或 q为真， p 且 q为假，求实数 m的取值范围．


先分别求满足条件 p 和 q 的 m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．

解析：





7

0
3
m 1或m 3

2
3，
1 m 3
3
q3 8．
m









由命题 p 可以得到：


由命题 q可以得到：

m m2 4 0， ∴ m 2．

[4(m 2)] 2 16 0， ∴ 1 m 3．

∵ p或 q为真， p且 q 为假， ∴ p、 q有且仅有一个为真．



当 p为真， q为假时，



当 p为假， q为真时，


所以， m的取值范围为

例4、 已知 p : 1 x 1 2，


m 2 m



1 m 2，


{m | m 3或1 m 2}．


q : x2 2x 1 m2 0 (m 0)， 若 p 是 q 的充分而不必要


条件，求实数 m 的取值范围．

分析：
利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，



找解集间的包含关系，进而使问题解决．
解析：

由 1 x 1 2解得： 2 x 10 ，则 p : A { x | x


又当 m 0 时，由 x2 2x 1 m2 0 得： 1 m x 1

则 q : B { x | x 1 m或x 1 m , m 0}．

∵ p 是 q 的充分非必要条件，








2或x 10}．




m
，





∴ A B ，结合数轴应有



例5、 若 p 0， q 0， p3

分析：
此题直接由条件推证 p

m
0
1 m 2，解得： 0 m 3为所求．
1 m 10

q3 2 ．试用反证法证明： p q 2．




q 2 是较难的，由此用反证法证之．


证明：

假设 p q 2， ∵ p 0， q 0． ∴ ( p q)3 p3 3p 2q 3 pq 2


8

3








又 ∵ p3 q3

又由 p q3

pq( p q)

∵ p 0， q
∴ pq p2

∴假设 p q

2． ∴代入上式得： 3 pq( p q) 6，即： pq ( p q) 2 (1)．



2 ，即 ( p q)( p 2 pq
( p q)( p 2 pq q 2 )．

0 ．∴ p q 0．

pq q2 ，但这与 ( p q)2
q 2 ) 2 代入 (1) 得：










0 矛盾，

2 不成立，故 p q 2．


说明：

反证法： 是一种证明题目的间接方法，在有些题目的证明中用反证法非常简洁，但并不
是每一题用反证都恰倒好处． 那么， 对于哪些题目适合用反证法呢？ 1） 从这些条件推出所知
的也很少或无法用已知条件进行直接证明的； 2） 当问题中能用来作为推理依据的公理、 定理
很少， 无法直接证明或证明无从下手的； 3） 结论以否定的形式出现， 无法引用定理来证明否

定形式的结论； 4）对要证明的命题，已知它的逆命题是正确的； 5）要求证明的命题适合某
种条件的结论唯一存在．对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高．



















































9

2
1






基础练习
一、选择题



1、有以下 5 个命题：（ 1）没有男生爱踢足球；（
一个男生不爱踢足球； （4） 所有女生都爱踢足球；
的否定是（ ）

2）所有男生都不爱踢足球；（ 3）至少有
（ 5） 所有男生都爱踢足球． 其中命题 （5）


A ．（ 1） B ．（ 2） C．（ 3） D．（ 4）

2、 某个命题与正整数 n 有关， 如果当 n k (k N ) 时， 该命题成立， 那么可得当 n k 1



时命题也成立，现已知当 n A ．当 n 6 时，该命题不成立 C．当 n 4 时，该命题不成立 3、设集合 A { x |x2 x 6
必要的条件是（ ）

A． m { , 3} B． m


5时，该命题不成立，则可推出（ ）
B．当 n 6 时，该命题成立
D．当 n 4 时，该命题成立

0} ， B { x |mx 1 0} ，则 B 是 A 的真子集的一个充分不





1
2
1
C． m { 0 , , 1} 2
D． m { 0 , 2}


4、 （湖北）有限集合 S 中元素个数记作 card (S) ，设 A、 B 都为有限集合，给出下列命题：

① A B 的充要条件是 card (A B) card (A) card (B)； ② A B 的必要条件是




card (A)

充要条件是

A． ③④
二、填空题

card (B)； ③ A B （真包含）的充分条件是 card (A) card (B) ．其中真命题的序号是（
B． ①② C． ①④ D． ②③

card ( A) card (B)； ④ A B 的
）


5、有下列命题： ①面积相等的三角形是全等三角形； ② “若 xy 0 ，则 | x | | y | 0 ”的逆 命题； ③“若 a b， 则 a c b c ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直” 的逆否命题． 其 中真命题共有 _________个．

6、 在原命题及其逆命题、 否命题、 逆否命题这四个命题中， 真命题的个数可以是 _________．

7、命题 p : { 2} {1 , 2 , 3}， q :{ 2} {1 , 2 , 3} ，则对复合命题的下述判断： ① p 或 q为真；
② p 或 q为假； ③ p 且 q为真； ④ p 且 q为假； ⑤非 p为真； ⑥非q 为假．其中判断正确的 序号是 _________ （填上你认为正确的所有序号）．

8、如果 x、 y 是实数，那么 xy 0 是 | x y | | x | | y | 的________条件．



10

3
2






9、若三条抛物线 y x2 4ax 4a 3， y x2 (a 1)x a2 ， y x2 2ax 2a 中至少 有一条与 x轴有公共点，则 a 的取值范围是 ________．

10、设集合 U {( x , y) | x R , y R}， A {( x , y) | 2x y m 0} ，

B {( x , y) | x y n 0} ，那么点 P(2 , 3) A CU B 的充要条件是 ________．

三、解答题：



x 1 11、已知 p : 1


2， q : x 2x 1 m2 0 (m 0) ，若 p 是 q的必要而不充分




条件，求实数 m 的取值范围．

12、 p : 2 m 0， 0 n 1； q :关于 x 的方程 x2 mx n 析 p 是 q的什么条件．
13、已知关于 x 的实系数二次方程 x 2 ax b 0 有两个实数根 | | 2是 2 | a | 4 b且 | b | 4 的充要条件．




















































11





0 有2个小于 1的正根，试分




、 ，证明： | | 2 且












答案： 1-4： C C B B 5： ○2 ○3 6： 0或2或 4.
8：充分非必要条件 9： a≥0或 a≤-3/2

7： ○1 ○4 ○5 ⑥

10： m>-1,n>5




11、 m>9,
关于 X 的方程
x1*x2=n
因为 0 
12、 p 是 q 的必要不充分条件
x^2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根根据韦达定理 x1+x2=-m


0
所以可以推出 :-2 但是还需要一个条件：△ =m^2-4n>0
所以 p 不能推出 q ,q 可以推出 p
即 p 是 q 的必要不充分条件




13:证明 (1）充分性
由韦达定理，得 |b|=|x1 ·x2|=|x1| · |x2|＜2 ×2=4
设 f(x)=x2+ax+b, 则 f(x) 的图象是开口向上的抛物线
又|x1|＜2,|x2|＜2,∴f( ±2)>0

即有 4+b>2a> －(4+b)
又 |b|＜4 4+b>0 2|a|＜ 4+b

(2) 必要性
由2|a|＜4+b f( ± 2)>0 且 |b | 4， f(x) 的图象是开口向上的抛物线

∴方程 f(x)=0 的两根 x1， x2同在 ( －2， 2）内或无实根

∵x1， x2是方程 f(x)=0 的实根，
∴x1， x2同在 ( －2， 2）内，即 |x1|＜ 2且 |x2|＜2


其中 x1， x2就是题目中的 、 。

























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