2021-2022学年江西省新余市第一中学高二上学期第二次段考数学试题含解析

江西省新余市第一中学2021-2022学年高二上学期第二次段考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】

解不等式确定集合，根据对数函数性质确定集合，再由并集定义计算．

【详解】

或，，

∴或.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合并集运算，考查解一元二次不等式，属于基础题．

2．化简（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用正弦的二倍角公式，由，再结合，化简即可得解.

【详解】

因为，

由，所以，

所以原式.

故选：A.

3．已知数列是等差数列，若，，则公差（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用等差数列的下标和性质即可求解.

【详解】

∵，∴．

∵，∴，

∴公差．

故选：D

4．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

写出平移后的解析式，代入对称点坐标可求得．

【详解】

由题意平移后函数式为，

又新函数图象关于点对称，所以，而，

所以的最小值为．

故选：A．

5．设是等比数列，前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，得出，显然，再由等比数列的前项和公式化简得出，而，从而可求出结果.

【详解】

解：设等比数列的公比为，

由，得，

显然，则，所以，

所以.

故选：C．

6．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

作出线线角，由此计算出线线角的余弦值.

【详解】

设等边三角形的边长为，

设的中点为，作出图象如下图所示，由于是的中点，

所以，则或其补角是异面直线和所成角，

由于为弧的中点，所以，

而，所以平面，所以，

在中，.

故选：C

7．已知等比数列前项和是，前项和是，则前项和是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】

设等比数列的公比为，前项和为，推导出、、成等比数列，列方程可求得的值.

【详解】

设等比数列的公比为，前项和为，

则，

，

所以，，，

整理可得，解得或.

当时，，则，显然不成立，故.

故选：A.

8．在中，，点满足，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.

【详解】

取中点O，连接，

，即，M为BC边上靠近C的三等分点，

，

，，，

又，，.

故选：C.

9．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则（    ）．

A． B．0

C． D．2021

【答案】C

【分析】

先根据奇偶性和对称性得到是周期为的周期函数，然后计算出一个周期内函数值的和即，结合周期性可求原式的值.

【详解】

因为是定义在上的奇函数，

所以，

所以，

则，

故是周期为4的周期函数．

又当时，，

所以，

，

解得，，

故当时，．

因为，

所以．

故选：C.

10．某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从年开始每年比上一年获利增加，则从（    ）年开始这家加工厂年获利超过万元．（已知，）

A．年 B．年 C．年 D．年

【答案】C

【分析】

本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于的不等式，解出的值，注意其中对数式的计算．

【详解】

由题意，设从年开始，第年的获利为万元，

则数列为等比数列，其中年的获利为首项，即.

年的获利为万元，

年的获利为万元，

数列的通项公式为，

由题意可得，即，

，

，

从年开始这家加工厂年获利超过万元．

故选：C．

【点评】

本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．

11．已知函数，数列满足，则（    ）

A．2018 B．2019 C．4036 D．4038

【答案】A

【分析】

根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.

【详解】

∵，

∴．

又∵，

∴．

令，

则，

两式相加得，∴．

故选：A

12．已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（    ）

A．1009 B．1010 C．2019 D．2020

【答案】B

【分析】

由可得,则.再结合,可化简,

从而可以求出正整数的最大值.

【详解】

,

∴,∴,即数列为单调增数列,

,即,

,

,

,即,

正整数的最大值为1010,

故选:B.

【点睛】

本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.

二、填空题

13．已知样本的平均数是10，方差是4，则_____;

【答案】91

【分析】

根据平均数是10，方差是4，利用相应公式求得x，y即可.

【详解】

因为样本的平均数是10，方差是4，

所以，

 ，

则 ，

解得 或 ，

所以，

故答案为：91

14．已知直线，则原点到直线的距离的最大值等于___________.

【答案】

【分析】

根据题意,设原点到直线的距离为d,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M(1,2),分析可得，即可得答案.

【详解】

根据题意，设原点到直线的距离为d.

直线,即则有,解得,即直线l恒过定点(1,2).

设M(1,2),则,即原点到直线l的距离的最大值等于.

故答案为: .

15．已知函数在上有且只有3个零点，则实数的最大值为________.

【答案】

【分析】

利用三角恒等变换，将函数转化为，令得：，根据在上有且只有3个零点，利用整体代换，由

求解.

【详解】

，

，

，

令得：，

因为，所以，

因为在上有且只有3个零点，

所以，

解得.

所以实数的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质以及函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于难题.

16．已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．

【答案】4

【详解】

当时，，得，

当时，，

又，

两式相减得，得，

所以．

又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，

，即．

因为，所以不等式，等价于．

记，

时，．

所以时，

综上，，

所以，所以整数的最大值为4．

考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．

三、解答题

17．已知函数．

（1）求的值；

（2）当时，求的最大值和最小值．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】

（1）根据正弦、余弦的二倍角公式，以及诱导公式进行三角恒等变换，化简函数，代入计算可得答案；

（2）由（1）得，代入根据辅助角公式化简，由正弦函数的性质可求得的最值.

【详解】

解：（1）

．

所以．

（2）由（1）知，

．

因为，所以，所以，所以，

所以．

18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，求事件“，中至少有一个数小于25”的概率；

（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出关于的线性回归方程.

（参考公式：回归直线方程为，其中，）

【答案】（1）      （2）

【分析】

（1）利用已知条件写出构成的所有基本事情，找出其中至少有一个数小于25的，利用古典概型概率公式，即得解；

（2）利用所给公式和数据代入求值，可得关于的线性回归方程．

【详解】

（1）从3月1日至3月5日中任选2天，m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．

记“m，n至少有一个数小于25”为事件，包括：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，16），30，16），（26，16），共有7个基本事件

由古典概型概率公式：

（2） ． 

于是，

故所求线性回归方程为

19．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的前20项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用等差中项的条件结合题干另一个方程，列方程组即算出等比数列的首项，公比；（2）根据数列的正负，先去掉绝对值，在根据公式计算即可.

【详解】

（1）设等比数列的首项为，公比为.

依题意，有，代入，可得，

∴，

∴解之得或

又数列单调递增，所以，，

∴数列的通项公式为.

（2），则；，则

20．如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，，，、分别为、的中点.

（1）求证：平面﹔

（2）若平面平面，求直线到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）连接，可知为的中点，再连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）取的中点，连接，推导出平面，设直线到平面的距离为，利用等体积法得出，由此可解出的值，即可得解.

【详解】

（1）如图所示，连接、.

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

为的中点，则为的中点，

又因为为的中点，所以，，

而平面，平面，所以平面；

（2）如图，取的中点，连接，

因为是正三角形，为的中点，所以，，

平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为是边长为的正三角形，，，所以.

设直线到平面的距离为，即点到平面的距离为.

由，得，解得.

故直线到平面的距离为.

【点睛】

方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：

（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；

（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.

21．已知圆与圆：关于直线对称．

（1）求圆的标准方程；

（2）已知点，若与直线垂直的直线与圆交于不同两点、，且是钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据两圆对称，直径一样，只需圆心对称即可得圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m与圆C联立方程组，利用韦达定理，设而不求的思想即可求解b范围，即截距的取值范围．

【详解】

（1）圆的圆心坐标为，半径为2

设圆的圆心坐标为，由题意可知

解得：

由对称性质可得，圆的半径为2，所以圆的标准方程为：

（2）设直线的方程为，联立得：，

设直线与圆的交点，，

由，得，

（1）

因为为钝角，所以，且直线不过点

即满足，且

又，，

所以（2）

由（1）式（2）式可得，满足，即，

因为，所以直线在轴上的截距的取值范围是

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．

22．已知正项数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）当时，得出，当时，由，可得出数列是首项为1，公差为2的等差数列，从而得出答案.

（2）由（1）知，利用错位相减法可求数列的前 项和；

（3）由得，分离参数得， 利用基本不等式可求实数的取值范围.

【详解】

解：（1）由已知得，  ①

当时，，解得.

当时，.  ②

①－②得，，

则.

因为，所以，即

数列是首项为1，公差为2的等差数列.

所以.

（2）由（1）知，

则.

，

两式相减得，

所以.

（3）由得，，

则，

因为，

所以当且仅当时，有最大值，即