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专题17 函数奇偶性的应用-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题17 函数奇偶性的应用-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册），文件包含专题17函数奇偶性的应用-培优对点题组专题突破解析版doc、专题17函数奇偶性的应用-培优对点题组专题突破原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
专题17 函数奇偶性的应用
题组4 函数奇偶性的应用
1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（ ）
A.－1
B.1
C.0
D.2
【答案】A
【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.
故选A.
2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（ ）
A.2
B.
C.4
D.6
【答案】A
【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.增减性不确定
【答案】B
【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0，
∴f（x）＝－x2＋3，开口向下，
对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数.
4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（ ）
A.0
B.
C.1
D.－1
【答案】B
【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，
∴a－1＝－2a，b＝0，
解得a＝，b＝0，
∴a＋b＝，
故选B.
5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（ ）
A.
B.
C.0
D.－
【答案】A
【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.
6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（ ）
A.1
B.2
C.
D.－
【答案】A
【解析】由题意得f（－x）＝－f（x），
则＝
＝－，
则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，
所以2－2a＝－（2－2a），
所以a＝1.
7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（ ）
A.1
B.3
C.
D.
【答案】B
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3.
8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（ ）
A.ab＝0
B.a＋b＝0
C.a＝b
D.a2＋b2＝0
【答案】D
【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，
∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0.
9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】B
【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.
又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）.
∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.①
又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.②
由①②，得g（1）＝3.
10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）等于（ ）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
【答案】C
【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1）－g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C.
11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则f的值是（ ）
A.0
B.
C.1
D.
【答案】A
【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f，令x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f－f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0.
12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（ ）
A.－13
B.13
C.－19
D.19
【答案】A
【解析】设g（x）＝x5－ax3＋bx，则g（x）为奇函数.
f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17.
∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15.
∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13.
13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（ ）
A.[m，－m]
B.（－∞，m]
C.[－m，＋∞）
D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）
【答案】D
【解析】当x≥0时，f（x）≤m；
当x≤0时，－x≥0，
所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）≤m，
即f（x）≥－m.
14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（ ）
A.最小值是9
B.最小值是－9
C.最大值是－9
D.最大值是9
【答案】D
【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，
所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数.
因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9.
15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A.最小值－4
B.最大值－4
C.最小值－1
D.最大值－3
【答案】A
【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10.
对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）.
又∵φ（x），g（x）都是奇函数，
∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10，
即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10，
∴aφ（x）＋bg（x）≥－7，
∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4.
16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（ ）
A.f（x）＝－x（1－x）
B.f（x）＝x（1＋x）
C.f（x）＝－x（1＋x）
D.f（x）＝x（x－1）
【答案】B
【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时，
f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B.
17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.
【答案】f（－2）
∴f（－x）＝f（x）恒成立，
即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.
∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，
∴f（2）
【答案】－1
【解析】∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），即＝－，
∴2a＝－2，解得a＝－1.
19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.
【答案】－1
【解析】∵y＝f（x）＋x2是奇函数，
∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，
∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0.
∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3.
∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.
20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________.
【答案】－2
【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.
所以f（10）＋f（4）＝－2.
21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________.
【答案】－2
【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1），
∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），
∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×12＝2，
∴f（7）＝－f（1）＝－2.
22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.
【答案】－2
【解析】令g（x）＝ax3＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）.
因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6，
所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2.
23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.
【答案】4
【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1，
∴f（－x）＝a（－x）3－b（－x）＋1＝－ax3＋bx＋1，
得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2，
令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2，
∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4.
24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.
【答案】f（x）＝－x2＋4 （－2,0）∪（2，＋∞）
【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x2－4＝－f（x），所以f（x）＝－x2＋4，即x>0时，f（x）＝－x2＋4.当x<0时，f（x）<0，即x2－4<0，解得－20时，f（x）<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因为x>0，所以x>2.综上可得f（x）
（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；
（2）求f（37.5）；
（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.
【答案】（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（x＋2）＝f（－x），
∴f（x）关于直线x＝1对称.
由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图.
（2）由图可知f（x＋4）＝f（x），
∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝.
（3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.
26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.
（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；
（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.
【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R.
又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，
故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图.
（2）∵g（x）＝f（）＝＝（x≠0），
∴f（x）＋g（x）＝＋＝＝1，
即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.
27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.
【答案】（1）∵函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，
∴函数的定义域关于原点对称，
又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m].
∴m－1＋2m＝0，解得m＝，
又由f（－x）＝mx2－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n，
可得n＝0.
（2）由（1）得函数的解析式为f（x）＝x2＋1，定义域为[－，].
其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，
当x＝±时，f（x）取最大值.
28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.
【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.
又∵f（1）＝，f（2）＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.
函数f（x）在区间上为减函数.
证明如下：
任取0
＝（x1－x2）
＝（x1－x2）
∵0
∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.
∴f（x）在上为减函数.
29.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.
【答案】（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f（x）的最小值为1，
当x＝－5时，f（x）的最大值为37.
（2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.
∵f（x）在[－5,5]上是单调的，
∴－a≤－5或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.
30.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式.
【答案】设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，
所以当x<0时，
f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.
因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.
所以f（x）＝
专题17 函数奇偶性的应用
题组4 函数奇偶性的应用
1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（ ）
A.－1
B.1
C.0
D.2
【答案】A
【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.
故选A.
2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（ ）
A.2
B.
C.4
D.6
【答案】A
【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.增减性不确定
【答案】B
【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0，
∴f（x）＝－x2＋3，开口向下，
对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数.
4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（ ）
A.0
B.
C.1
D.－1
【答案】B
【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，
∴a－1＝－2a，b＝0，
解得a＝，b＝0，
∴a＋b＝，
故选B.
5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（ ）
A.
B.
C.0
D.－
【答案】A
【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.
6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（ ）
A.1
B.2
C.
D.－
【答案】A
【解析】由题意得f（－x）＝－f（x），
则＝
＝－，
则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，
所以2－2a＝－（2－2a），
所以a＝1.
7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（ ）
A.1
B.3
C.
D.
【答案】B
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3.
8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（ ）
A.ab＝0
B.a＋b＝0
C.a＝b
D.a2＋b2＝0
【答案】D
【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，
∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0.
9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】B
【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.
又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）.
∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.①
又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.②
由①②，得g（1）＝3.
10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）等于（ ）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
【答案】C
【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1）－g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C.
11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），则f的值是（ ）
A.0
B.
C.1
D.
【答案】A
【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f，令x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f－f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0.
12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（ ）
A.－13
B.13
C.－19
D.19
【答案】A
【解析】设g（x）＝x5－ax3＋bx，则g（x）为奇函数.
f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17.
∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15.
∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13.
13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（ ）
A.[m，－m]
B.（－∞，m]
C.[－m，＋∞）
D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）
【答案】D
【解析】当x≥0时，f（x）≤m；
当x≤0时，－x≥0，
所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）≤m，
即f（x）≥－m.
14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（ ）
A.最小值是9
B.最小值是－9
C.最大值是－9
D.最大值是9
【答案】D
【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，
所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数.
因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9.
15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A.最小值－4
B.最大值－4
C.最小值－1
D.最大值－3
【答案】A
【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10.
对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）.
又∵φ（x），g（x）都是奇函数，
∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10，
即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10，
∴aφ（x）＋bg（x）≥－7，
∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4.
16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（ ）
A.f（x）＝－x（1－x）
B.f（x）＝x（1＋x）
C.f（x）＝－x（1＋x）
D.f（x）＝x（x－1）
【答案】B
【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时，
f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B.
17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.
【答案】f（－2）
∴f（－x）＝f（x）恒成立，
即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.
∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，
∴f（2）
【答案】－1
【解析】∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），即＝－，
∴2a＝－2，解得a＝－1.
19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.
【答案】－1
【解析】∵y＝f（x）＋x2是奇函数，
∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，
∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0.
∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3.
∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.
20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________.
【答案】－2
【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.
所以f（10）＋f（4）＝－2.
21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________.
【答案】－2
【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1），
∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），
∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×12＝2，
∴f（7）＝－f（1）＝－2.
22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.
【答案】－2
【解析】令g（x）＝ax3＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）.
因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6，
所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2.
23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.
【答案】4
【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1，
∴f（－x）＝a（－x）3－b（－x）＋1＝－ax3＋bx＋1，
得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2，
令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2，
∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4.
24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.
【答案】f（x）＝－x2＋4 （－2,0）∪（2，＋∞）
【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x2－4＝－f（x），所以f（x）＝－x2＋4，即x>0时，f（x）＝－x2＋4.当x<0时，f（x）<0，即x2－4<0，解得－2
（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；
（2）求f（37.5）；
（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.
【答案】（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（x＋2）＝f（－x），
∴f（x）关于直线x＝1对称.
由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图.
（2）由图可知f（x＋4）＝f（x），
∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝.
（3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.
26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.
（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；
（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.
【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R.
又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，
故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图.
（2）∵g（x）＝f（）＝＝（x≠0），
∴f（x）＋g（x）＝＋＝＝1，
即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.
27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.
【答案】（1）∵函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，
∴函数的定义域关于原点对称，
又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m].
∴m－1＋2m＝0，解得m＝，
又由f（－x）＝mx2－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n，
可得n＝0.
（2）由（1）得函数的解析式为f（x）＝x2＋1，定义域为[－，].
其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，
当x＝±时，f（x）取最大值.
28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.
【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.
又∵f（1）＝，f（2）＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.
函数f（x）在区间上为减函数.
证明如下：
任取0
＝（x1－x2）
＝（x1－x2）
∵0
∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.
∴f（x）在上为减函数.
29.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.
【答案】（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f（x）的最小值为1，
当x＝－5时，f（x）的最大值为37.
（2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.
∵f（x）在[－5,5]上是单调的，
∴－a≤－5或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.
30.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式.
【答案】设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，
所以当x<0时，
f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.
因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.
所以f（x）＝
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