专题26 对数函数-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题26 对数函数

题组1 对数函数的概念

1.给出下列函数：

①y＝ x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.

其中是对数函数的有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】A

【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；

④是对数函数.

故选

2.下列函数，是对数函数的是(　　)

A.y=lg10x B.y=log3x2

C.y=lnx D.y=log（x–1）

【答案】C

【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，

y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数.故选C.

3.下列各函数中，表示同一函数的是（    ）

A.与y=x+1 B.y=x与（a＞0且a≠1）

C.与y=x﹣1 D.y=lgx与

【答案】B

【解析】对于选项A：函数的定义域不包含1，而一次函数y=x+1的定义域是R，显然不是同一个函数.

对于选项B：因为=xlogaa=x，且定义域都为R，所以为同一个函数.

对于选项C：函数=|x|﹣1与一次函数y=x﹣1的对应法则不同，故不是同一个函数.

对于选项D：函数y=lgx的定义域为x＞0，而函数y=lgx2的定义域是x≠0，显然不是同一个函数.

故选B.

题组2 对数函数的定义域

4.函数y=1g（1-x）+的定义域是（　　）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】要使原函数有意义，则：
解得-1≤x＜1；
∴原函数的定义域是[-1，1）.
故选B.

5.已知函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，则函数y=f（3-4x）的定义域是（　　）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】∵函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，

即-2≤x≤6，得-1≤x+1≤7，

∴f（x）的定义域为[-1，7]，

由-1≤3-4x≤7，可得-1≤x≤1.

∴函数y=f（3-4x）的定义域是[-1，1].

故选：A.

6.函数y=的定义域是（   ）

A.（1，2]    B.（1，2）    C.（2，+∞）    D.（﹣∞，2）

【答案】B

【解析】∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1

根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2

∴函数y=的定义域是（1，2）

故选B.

7.函数y＝＋lg（2－x）的定义域是（    ）

A.（1，2）         B.[1，4]         C.（1，2]          D.[1，2）

【答案】D

【解析】由得，由得，两部分取交集为.

8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是（    ）

A.f(x1)<f(x2)    B.f(x1)＝f(x2)

C.f(x1)>f(x2)    D.不确定

【答案】C

【解析】由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数递减.当x<1时，f′(x)>0，函数递增；因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝1.所以若1<x1<x2，则f(x1)>f(x2).若x1<1，则x2>2－x1>1，此时由f(x2)<f(2－x1)，即f(x2)<f(2－x1)＝f(x1)，综上f(x1)>f(x2)

9.已知全集U＝R，集合∁UA＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝(    )

A.{x|x>2}    B.{x|2<x≤4}    C.R    D.{x|x<0或x>2}

【答案】D

【解析】∵∁UA＝{x|0≤x≤4}，∴A＝{x|x<0，或x>4}.

∴A∪B＝{x|x<0，或x>4}∪{x>2}

＝{x|x<0，或x>2}.选D

10.函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.

【答案】

【解析】由题意，得

由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z).

所以不等式组的解集为

11.设函数f（x）=-x+2，则满足f（x-1）+f（2x）＞0的x的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意，函数，

则，

若，即，

解可得：，

即的取值范围为；

故答案为：.

12.已知全集U=R，集合A={x|x＜a}，B═{x|-1＜x＜2}，且A∪∁UB=R，则实数a的取值范围是______.

【答案】a≥2

【解析】∵全集U=R，B={x|-1＜x＜2}，

∴∁UB={x|x≤-1或x≥2}，

∵A={x|x＜a}，A∪（∁UB）=R，

∴a≥2，

则a的取值范围为a≥2.

故答案为：a≥2

题组3 对数函数的实际应用

13.某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　)

A.300只 B.400只

C.500只 D.600只

【答案】A

【解析】由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog2（x+1），这种动物第1年有100只
∴100=alog2（1+1），
∴a=100，
∴y=100log2（x+1），
∴当x=7时，y=100 log2（7+1）=100×3=300.
故选A.

14.一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， 后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（    ），容器中的沙子只有开始时的八分之一.

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】依题意有= ，即 ，两边取对数得 当容器中只有开始时的八分之一，则有 两边取对数得，所以再经过的时间为24-8=16.故选B.

15.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度），则dB的声音强度是dB的声音强度的（    ）

A.倍 B.倍 C.10倍 D.倍

【答案】C

【解析】解：由题意，令，解得，，令，解得，，

所以

故选：C.

16.对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；；则的值为（    ）

A.42 B.43 C.44 D.45

【答案】D

【解析】由题意可知：，，

，个1，18个

.

故选：.

17.已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg.

与x的关系式为______；

当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时精确到.

参考数据：，，，

【答案】       

【解析】由题意知，该种药物在血液中以每小时的比例衰减，

给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，

药物在病人血液中的量为，

即y与x的关系式为；

当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，

令，

，

，是单调减函数，

，

所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时.

故答案为，.

18.2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为： (其中k≠0).当燃料重量为吨(e为自然对数的底数，)时，该火箭的最大速度为5km／s.

 (1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 .

 (2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?

【答案】(1) (2) 应装载516吨

【解析】(1)依题意，把代入函数关系，解得k=10，所以所求的函数关系式为

(2)设应装载x吨燃料方能满足题意， 此时，代入函数关系式，得，解得吨，故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.

专题四 不同函数增长的差异

19.图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　

A.，，， B.，，，

C.，，， D.，，，

【答案】A

【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，

由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，

由取，，，四个值，

故，，，的值依次为，，，，

故选：.

20.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(    )

A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

21.函数的图象大致是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】当时，，函数有意义，可排除A；

当时，，函数无意义，可排除D；

又∵当时，函数单调递增，

结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；

故选B.

22.函数的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】函数的定义域为，

又，

所以函数是奇函数，故排除A，C；

又因为，故排除D.

故选：B

23.高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.

24.下列散点图中，估计有可能用函数来模拟的是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由于函数在定义域内单调递增，且是上凸的，

又，

所以当时，的图象是单调递增且上凸的.

故选：C.

25.已知

(1)求的定义域；

(2)判断的奇偶性并予以证明；

(3)求使的的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1).

(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数.

(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；

若0<a<1，f(x)>0，则0<<1，解得－1<x<0.

26.（1）求满足不等式的的范围.

（2）当在（1）中求得的范围内变化时，求函数的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）..

【解析】（1）令，则原不等式可化为，

由二次函数图象解得，

即.

又，，

∴，即.

（2）将变形为关于的形式：

.

由（1）知.

∴当，即时，；

当，即时，.