专题30 用二分法求方程的近似解-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题30 用二分法求方程的近似解

考点1 二分法的概念

1.下列关于二分法的叙述，正确的是(　　)

A．用二分法可以求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字

C．二分法无规律可寻，无法在计算机上进行

D．二分法只用于求方程的近似解

【答案】B

【解析】根据“二分法”求函数零点的方法要求，用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字，故选B.

2.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)

A．(－1，0)

B．(0，1)

C．(1，2)

D．(2，3)

【答案】C

【解析】因为f(－1)＝2－1－3＝－<0，

f(0)＝20－3＝－2<0，

f(1)＝2－3＝－1<0，

f(2)＝22－3＝1>0，

f(3)＝23－3＝5>0，

所以f(1)·f(2)<0，

所以f(x)＝2x－3的零点x0∈(1，2)．

3.若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分(　　)

A．5次

B．6次

C．7次

D．8次

【答案】C

【解析】设对区间(1，2)至少二等分n次，初始的区间长为1，

第1次二等分后区间长为；

第2次二等分后区间长为；

第3次二等分后区间长为；

第n次二等分后区间长为.

根据题意得<0.01，∴n>log2100.

∵6<log2100<7，∴n≥7，

故对区间(1，2)至少二等分7次．

4.下列函数零点不能用二分法求解的是(　　)

A．f(x)＝x3－1

B．f(x)＝lnx＋3

C．f(x)＝x2＋2x＋2

D．f(x)＝－x2＋4x－1

【答案】C

【解析】对于C，f(x)＝(x＋)2≥0，不能用二分法．

5.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1

B．x2

C．x3

D．x4

【答案】C

【解析】观察图象可知，点x3附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求出，故选C.

6.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】用二分法判断函数是否有零点，关键是零点两侧的函数值异号，所以B项不符合要求．

7.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而B零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号．另外，A、C、D零点两侧函数值异号，可以利用二分法求解．

8.已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值，那么将区间(a，b)等分的次数至少是________．

【答案】10

9.下列函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝lgx＋3，③f(x)＝x2＋2ax＋a2，④f(x)＝－x2＋4x－1的零点不能用二分法求解的是________．(填序号)

【答案】③

【解析】①②④的零点可以用二分法求解．函数f(x)＝x2＋2ax＋a2＝(x＋a)2≥0，不能用二分法求零点．故填③.

10.在某娱乐节目中，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标，在猜一种品牌的手机时，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？

【答案】取价格区间[500，1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1000]的中点875；否则取另一区间[500，750]的中点625；若遇到小数取整数，照这样的方案游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次即可猜中价格．

11.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名工人如何分组(一组制作桌子，一组制作椅子)能使任务完成最快？

【答案】设x(1≤x≤29，x∈N*)名工人制作课桌，(30－x)名工人制作椅子．

一名工人在单位时间里可制作7张桌子或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间P(x)＝，制作200把椅子所需要的时间Q(x)＝.要想任务完成最快，则应求y＝max{P(x)，Q(x)}的最小值，设x0为y取最小值时的x的值，此时P(x)＝Q(x)．

下面用二分法的知识求x0的整数值．

令f(x)＝P(x)－Q(x)＝＋，

则f(1)＝－≈13.60>0，

f(29)＝－20≈－19.51<0，

所以x0∈(1，29)；

取中点x1＝＝15，f(15)≈－0.38<0，

所以x0∈(1，15)；同理可得x0∈(8，15)，

x0∈(11.5，15)，x0∈(11.5，13.25)，x0∈(12.375，13.25)，x0∈(12.375，12.8125)．

因为x0∈N*，所以x0＝12或x0＝13.

当|f(x)|取最小值，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，

当x0＝12时，f(x)≈0.079；

当x0＝13时，f(x)≈－0.078.

因为|0.079|>|－0.078|，所以取x0＝13，

即用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子，可使任务完成最快．

考点2 用二分法求方程的近似解

12.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则据此可得该方程的零点所在区间是(　　)

A．(1，1.25)

B．(1.25，1.5)

C．(1.5，2)

D．不能确定

【答案】B

【解析】因为f(1.25)f(1.5)<0，所以方程的零点所在区间为(1.25，1.5)，故选B.

13.设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间(　　)

A．(1，1.5)

B．(1.5，2)

C．(2，2.5)

D．(2.5，3)

【答案】A

【解析】取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x0∈(1，2)，

取x2＝，因为f()＝4×＋－8＝7>0，所以方程近似解x0∈(1，)，所以应选A.

14.在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个根锁定在(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为(　　)

A．(1.4，2)

B．(1，1.4)

C．(1，1.5)

D．(1.5，2)

【答案】D

【解析】令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－<0，由f(1.5)f(2)<0知根所在的区间为(1.5，2)．

15.设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的零点落在区间(　　)

A．(2，2.25)

B．(2.25，2.5)

C．(2.5，2.75)

D．(2.75，3)

【答案】C

【解析】因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，故零点在区间(2.5，2.75)内，选C.

16.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

那么方程2x＝x2有一个根位于区间(　　)

A．(－1.6，－1.2)内

B．(－1.2，－0.8)内

C．(－0.8，－0.6)内

D．(－0.6，－0.2)内

【答案】C

【解析】设f(x)＝2x－x2，则f(－1.2)＝0.4353－1.44<0，

f(－0.8)＝0.5743－0.64<0，

f(－0.6)＝0.6598－0.36>0，

∴函数f(x)在区间(－0.8，－0.6)内必有一个零点．

17.在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________．(精确度0.1)

【答案】0.75或0.6875

【解析】因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，

所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．

18.已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．

(1)若m＝－4，判断f(x)＝0在(－1，1)上是否有零根存在？没有，请说明理由；若有，并在精确度为0.2的条件下(即根所在区间长度小于0.2)，用二分法求出使这个零根x0存在的小区间；

(2)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，

可以求出f(－1)＝9，f(1)＝－7，

∵f(－1)·f(1)<0，f(x)为R上的连续函数，

∴f(x)＝0在(－1，1)上必有零根存在，

取中点0，代入函数得f(0)＝－1<0，f(－1)·f(0)<0，

零根x0∈(－1，0)，

再取中点－，

计算得f(－)＝>0，

∴零根x0∈(－，0)，

取其中点－，计算得f(－)＝>0，

∴零根x0∈(－，0)，

取其中点－，计算得f(－)＝>0，

∴零根x0∈(－，0)，

区间长度<，符合要求，

故符合要求的零根存在的小区间为(－，0)．

(2)f(x)＝2x2－8x＋m＋3的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－＝2，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，又f(x)在区间[－1，1]上存在零点，只可能

即

∴－13≤m≤3.

19.如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．

(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；

(2)如果要做成一个容积为150cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度0.1cm)

【答案】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2·x，x∈(0，7.5)．

(2)如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2·x＝150.

下面用二分法来求该方程在(0，7.5)内的近似解．

令f(x)＝(15－2x)2·x－150，

由计算器可以确定f(x)分别在(0，1)和(4，5)内各有一个零点，

即方程(15－2x)2·x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解．

f(0)＝－150<0，f(1)＝19>0，

取区间(0，1)的中点x1＝0.5，

计算得f(0.5)＝－52，所以零点x0∈(0.5，1)，

再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，

计算得f(0.75)≈－13.31，所以x0∈(0.75，1)．

同理可得x0∈(0.75，0.875)，x0∈(0.8125，0.875)．

因为|0.875－0.8125|＝0.0625<0.1，

所以方程在区间(0，1)内可以取近似解0.8125.

同理可得方程在区间(4，5)内的近似值为4.6675，

所以要做成一个容积为150cm3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8125cm或4.6675cm.

20.已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．

(1)求证f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；

(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根．(精确度0.01)

【答案】(1)证明　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，

则x2－x1>0，>1，

且>0，所以－＝(－1)>0，

由所设知x1＋1>0，x2＋1>0，

所以－＝>0，

于是f(x2)－f(x1)＝－＋－>0，

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)解　由(1)知当a＝3时，

f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上是增函数，

故在(0，＋∞)上也是增函数，

因此f(x)＝0的正根最多有一个．

因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，

所以方程的正根在(0，1)内，

取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

因为|0.2734375－0.28125|＝0.0078125<0.01，

所以方程的根的近似值可取为0.2734375，

即f(x)＝0的正根约为0.2734375.