人教版 (五四制)九年级下册34.2 解直角三角形及其应用复习练习题

解直角三角形及其应用

一、单选题

1．某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°

2．如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交轴于点B(-4，0)，交轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（　　）（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）

A．74米 B．80米 C．84米 D．98米

4．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米

5．如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）

A．16.5米 B．（10＋1.5）米

C．（15＋1.5）米 D．（15＋1.5）米

6．如图，将两个含30°角的直角三角板拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则的值是（　　）．

A． B． C． D．

7．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（　　）

A．5 B． C．10﹣ D．15﹣

8．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高，迎水斜坡，斜坡的坡角为，则的值为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑2m到A′时，梯脚B滑到B′，A′B′与地面的夹角为β，若tanα＝，BB′＝2m，则cosβ＝（　　）

A． B． C． D．

10．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（　　）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A．0.3 B．0.2 C．0.25 D．0.35

11．如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（　　）

A．15海里 B．（15﹣15）海里

C．（15﹣15）海里 D．15海里

12．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色．周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC510米，斜坡BC的坡度．则瞰胜楼的高度CD是（　　）米．（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）

A．30 B．32 C．34 D．36

二、填空题

13．如图、、在上，连接、、，若，劣弧的度数是，．则图中阴影部分的面积是 __．

14．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），即在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．如图，若在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则sadA的值是______．

15．如图，将Rt△ABO放置在直角坐标系中，OB边与x轴重合，AO=10，，反比例函数（x<0）的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则BD的长为________．

16．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若∠DCB=80°，∠CDE=60°，为了观看舒适，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为___．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，）

17．如图，在菱形MNEF中，∠NMF=60°，动点A在对角线ME上，点B是NE边的中点，设AM的长度为x，AN＋AB=y，变量y是变量x的函数，当变量x取最大值时，函数y有对应值为9，当变量x=m时，函数y有对应最小值为n，则m＋n的值为______．

三、解答题

18．如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树．他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E，且测得BC＝3米，CD＝28米，∠CDE＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）

19．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度．（）结果精确到0.1米

20．郑州人民公园有一座摩天轮，天天很喜欢坐，某日天天突然想测量这座摩天轮的高度，于是他先走到摩天轮AB对面小山上的E点处，在E点测得摩天轮最高点A的仰角为34°，沿着坡度的山坡向下走了26米到达C处，再往前走了77米到达了B处，请帮天天算出摩天轮AB的高度．（参考数据：，，，结果精确到米）

21．钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”， AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）

22．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．

(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．

(2)求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）

参考答案：

1．D

解：设该斜坡的坡角为α，

∵斜坡的坡度，

∴，

则＝30°，

故选：D．

2．A

解：如图，连接BC，

∵∠BOC=90°，

∴BC是的直径，

∴点B，A，C三点共线．

∵B（-4，0），C（0，3），

∴OB=4，OC=3，

∴，

∴．

∵∠CDO=∠OBC，

∴．

故选：A．

3．A

解：过点A作AD⊥BC于D，

在Rt△ABD中，∠BAD＝55°，AD＝35m，tan∠BAD＝，

∴BD＝AD•tan∠BAD≈35×＝49（m），

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝55°，AD＝35m，tan∠ACD＝，

∴CD＝≈＝25（m），

∴BC＝BD+CD＝49+25＝74（m），

故选：A．

4．D

解：，

，

米，

米；

故选D．

5．B

解：如图所示，过点A作AE⊥BC，E为垂足，

则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，CE＝AD＝1.5米，

在中，，

∴（米），

∴米，

故选B．

6．D

解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

设BC=x，则AB=x，AC=2x，

在Rt△ADC中，∠DAC=30°，

则CD=tan30°×AC=，

AD=2CD=，

∵E为AD的中点，连接CE，

∴CE=AE=，

∠EAC=∠ECA，

∴∠ECA=∠BAC，

又∵∠AFB=∠CFE，

∴△AFB∽△CFE，

∴，

故选：D．

7．D

解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，

∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin30°＝×＝，

CM＝BC×cos30°＝15，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDF＝45°，

∴MD＝BM＝，

∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．

故选：D．

8．B

解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，

∵坝高h=60m，迎水斜坡AB=100m，

∴BC= =80（m），

则tanα= ．

故选：B．

9．A

解：如图:

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanα=，

∴可设AC=4x m，那么BC=3x m，

∴AB==5x m，

∴A′B′=AB=5x（m）．

在Rt△A′B′C中，∠A′CB′=90°，A′C=（4x-2）m，B′C=（3x+2）m，

∴（4x-2）2+（3x+2）2=（5x）2，

解得：x=2，

∴A′C=6m，B′C=8m，A′B′=10m，

∴cosβ=．

故选：A．

10．C

解：在Rt△BCD中，BD＝8米，∠BCD＝45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BD＝CD＝8米，

在Rt△ACD中，CD＝8米，∠ACD＝37°，

∴AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米），

∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）；

升旗时，国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米），

∵耗时46s，

∴国旗匀速上升的速度为：＝0.25（米/秒），

故选：C．

11．B

解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，

∴AS＝DS，

∴∠CDS＝∠CAS＝30°，

∵∠ABS＝15°，

∴∠DSB＝15°，

∴SD＝BD，

设CS＝x海里，

在Rt△ASC中，∠CAS＝30°，

∴AC＝x（海里），AS＝DS＝BD＝2x（海里），

∵AB＝30海里，

∴x+x+2x＝30，

解得：x＝，

∴AS＝（15﹣15）海里．

故选：B．

12．D

解：由斜坡BC的坡度，设、，

在中，

，

由求得，

∴米、米，

在中，

（米），

在中，

（米），

则（米）．

故选：D．

13．##

解：，劣弧的度数是，

，，，

，

，

，

，

解得：，

阴影部分的面积

，

故答案为：．

14．

解：过点作，垂足为．

，，

．

，

设，，

则．

．

．

故答案为：．

15．####

解：∵斜边AO＝10，sin∠AOB，

∴sin∠AOB，

∴AB＝6，

∴OB8，

∴A点坐标为(﹣8，﹣6），

而C点为OA的中点，

∴C点坐标为(﹣4，﹣3），

又∵反比例函数y的图象经过点C，

∴k＝(﹣4)×(﹣3)＝12，即反比例函数的解析式为y，

∵D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为﹣8，

∴当x＝﹣8，y，

∴D点坐标为（8，），

∴BD的长为．

故答案为：

16．33.4°

解：如图所示：

由题意可知：

∠DCB=80°+10°=90°，

在Rt△DCB中，DC=80mm，CB=40mm，

∴tan∠CDB= ，

∴∠CDB≈26.6°，

∴CD旋转的角度约为：60°-26.6°=33.4°，

故答案为：33.4°．

17．

解：如图，连接AF，FN，

∵点B是NE边的中点，

∴BN=EB=EN，

∵动点A在对角线ME上，

∴当点A与点E重合时，AM有最大值，

∴y=EN+EB=9，

∴EB=3，EN=6，

∵四边形ABCD是菱形，∠NMF=60°，

∴EF=EN=6，∠FEN=60°，∠NEM=30°，点F与点N关于EM对称，

∴△EFN是等边三角形，

∵y=AN+AB=AF+AB=BF，

∴当点A，点F，点B共线时，y有最小值，

此时，，，

∴，

∴，

故答案为：．

18．的长为米

解：过E作于F，

∵，

∴，

设为米，则米，米，

∵，，

∴，

∴即，

解得，

∴（米） ．

∴的长度为米．

19．6.9米．

解：过D作DF⊥ME于F，

∵AC与BD都是小明身高，

∴AC∥BD，且AC=BD，∠DBA=90°

∴四边形DBAC为矩形，

∴AB=CD，CD∥AB，

∴DF∥BE，BD∥FE，∠DBE=90°，

∴四边形DBEF为矩形，

∴FE=BD=1.5米，

∴MF=ME-EF=7.5-1.5=6米，

在Rt△MFC中tan60°=，

∴米，

在Rt△MFD中，tan30°=

∴米，

∴CD=DF-CF=≈4×1.73=6.92≈6.9米，

∴AB=6.9米．

20．摩天轮的高度约为78米．

解：过点E作的延长线于点F，作于点H，

在中，

，

，

， （米），

，

解得（米），

（米），

（米），（米）．

在中，

，

（米），

（米）．

答：摩天轮的高度约为78米．

21．执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．

解：设CD＝x米，

Rt△ACD中，tan∠ACD＝，

∴AD＝2.75x米，

Rt△BCD中，∠BCD＝45°，

∴BD＝CD＝x米，

∴2.75x＋x＝3641，

解得x≈971，

答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．

22．(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°

(2)篮板底部点E到地面的距离是（+）米

解：(1)

在Rt△EFH中，cos∠FHE= ，

∴∠FHE=45°，

答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

(2)

延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，

∴GM=AB，HN=EG，

在Rt△ABC中，∵tan∠ACB= ，

∴AB=BCtan60°=1×=，

∴GM=AB=，

在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，

∴HN=AHsin45°= ，

∴EM=EG+GM= ，

答：篮板底部点E到地面的距离是（）米．