第6章 三角（章节易错题型分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

第6章 三角章节易错题型分析

易错点1  角的概念不清

例1 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

【难度】★

【答案】

【跟踪训练】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟.

【难度】★

【答案】，

【解析】（1）分针所转过的角度；

（2）分针所转过的角度.

例2  若、为第三象限角，且，则（     ）

A．   B．   C．   D．以上都不对

【错解】A

【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似区间角．

【正解】如取，可知A不对．用排除法，可知应选D．

【跟踪训练】已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角．

【解析】是第三象限角，即

，

当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角；

而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.

易错点2  忽视对角终边位置的讨论致误

例3 若的终边所在直线经过点，则          ．

【错解】∵，所以．

【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论

【正解】∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若的终边在第二象限，则，若的终边在第四象限，∴，综上可知．

【跟踪训练1】函数y＝＋＋的值域是(　　)

A．{－1，1}    B．{1，3}     C．{1，－3}    D．{－1，3}

【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D.

【跟踪训练2】（2020·上海浦东新区·高一期中）若是第一象限的角，则是第________象限的角．

【答案】第一或第三

【分析】根据所在象限写出范围,然后求出的范围即可判断所在象限．

【详解】因为是第一象限的角,所以,即有,

当为偶数时,是第一象限的角；当为奇数时,是第三象限的角；

故答案为第一或第三．

【点睛】本题主要考查象限角的集合．

易错点3  三角函数值不确定导致错误

例4 已知（），求，的值．

【难度】★★

【解析】由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解．

解：因为，所以，

（1）当b=0时，角的终边在轴上，

若角的终边在轴的非负半轴上时， ，不存在．

若角的终边在轴的非正半轴上时， ，不存在．

（2）当，且时，则角为象限角，

 若为第一或第二象限时，．

若为第一或第二象限时，．

特别提示：本题易错解为：

因为，

所以（1）当为第一象限角时，；

（2）当为第二象限角时，；

（3）当为第三象限角时，；

（4）当为第四象限角时，．

其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值，同时也时，角的终边在轴上，此时不存在，所以在解答讨论时，应注意条件的限制，如函数本身对答角的范围要求，在各个象限的符号等．

【跟踪训练】已知 ，求．

【难度】★★

【解析】:

∵,∴角的终边不在坐标轴上.

当是第一象限或第二象限角时

,

当是第三象限或第四象限角时

,

易错点4  对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误

例5  若，则=（   ）

A．            B．            C．            D．

【错解一】

，无答案．

【错解二】，

故选D．

【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角看作锐角时，所在象限的相应余弦三角函数值的符号．

【正解】，故选A．

【跟踪训练1】记，那么(    )

A．      B．    　C．    　　D．

【解析】∵sin80°= = ，

∴tan100°=－tan80°=－－ =－．故选B．

【跟踪训练2】化简．

【难度】★★

解：①当时，原式．

②当时，原式．

点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．

易错点5  忽略隐含条件

例6 若，求的取值范围．

【错解】 移项得，两边平方得

即

【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了．

【正解】即，由得

∴

【跟踪训练】已知，，求的值．

【解析】据已知（1），有，又由于，故有，从而即（2），

联立（1）、（2）可得，可得．

易错点6  因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错

例7 单调增区间为（    ）

A．,    B．,

C．,     D．,

【错解】由题意，，解得，所以单调增区间为,，故选A．

【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用的单调性来求．

【正解】∵，即求函数的减区间．
故函数的增区间为,，故选B．

【跟踪训练】若，则函数的单调递增区间为          .

【解析】

，所以由，可得函数的的单调增区间，又因为，所以函数的单调递增区间为.

易错点7  已知条件弱用

例8  在不等边△ABC中，为最大边，如果，求A的取值范围．

【错解】∵，则，

由于cosA在（0°，180°）上为减函数且，，又∵A为△ABC的内角，

∴0°＜A＜90°．

【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误．

【正解】由上面的解法，可得A＜90°，又∵为最大边，∴A＞60°，

因此得A的取值范围是（60°，90°）．

易错点8  三角变换不熟练

例9 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状．

【错解】由正弦定理，得，[来源:学科网]

即

．[来源:Z.xx.k.Com]

∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形．

【错因】由，得2A＝2B．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏．

【正解】同上得，∴2A＝，或．

∵或．

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．[来源:学科网]

易错点9  解三角形时漏解

例10 已知在△ABC中，a＝，b＝,求、和边．

【错解】由正弦定理,得sinA＝所以，，，所以，＝．

【错因】上述解法中，用正弦定理求C时，丢了一个解，实际上，由sinA＝可得或，故或．

【正解】由正弦定理,得sinA＝因为，，所以或，当时，，＝．

当时，，＝．

【跟踪训练1】在中，．求的面积．

【解析】根据正弦定理知：，即，得，由于即满足条件的三角形有两个故或.则或故相应的三角形面积为或．

【跟踪训练2】（2020·上海高一课时练习）在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数.

【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.

【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况：

作图：

.

当时，无解【如图（1）】；

当时，有一个解【如图（2）】；

当时，有两个解【如图（3）】；

当时，有一个解【如图（4）、图（5）】.

【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.

易错点10 不会应用正弦定理的变形公式

例11  在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值．

【错解】∵A＝60°，b＝1，，又，∴，

解得c＝4．由余弦定理，得

又由正弦定理，得．

∴．

【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理．

【正解】由已知可得．由正弦定理，得．

．

【跟踪训练】在△ABC中，若∶∶7∶8∶13，则角   ．

【解析】由正弦定理可得，所以可设，由余弦定理[来源:学科网]

，所以．