专题6.4 基本不等式-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题6.4 基本不等式-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题64基本不等式解析版doc、专题64基本不等式原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。

【考纲要求】
1. 了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【命题趋势】
对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理、数学建模的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为 eq \f(a＋b,2) ，几何平均数为 eq \r(ab) ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是 2eq \r(p) (简记：积定和最小)；
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是 eq \f(p2,4) (简记：和定积最大)．
【真题体验】
1.【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
2.【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．
3.【2018年高考天津卷理数】已知，且，则的最小值为 .
4. 【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．
5. 【2017年高考天津卷理数】若，，则的最小值为___________．
【考法解码•题型拓展】
考法一 利用基本不等式求最值
归纳总结:
(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
【例1】 (1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
(2)已知x＜eq \f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为__________．
(3)(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为__________．
【例2】 (1)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)的最小值为__________．
(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
(3)已知x为正实数，且x2＋eq \f(y2,2)＝1，则xeq \r(1＋y2)的最大值为________．
考法二 利用基本不等式解决实际应用问题
归纳总结
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【例3】 (2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是__________．
考法三 基本不等式的综合应用
归纳总结
(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为研究工具，求解最值或取值范围．
(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．
【例4】 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则eq \f(Sn＋8,an)的最小值是__________．
(3)已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.
【易错警示】
易错点 忽视等号成立条件的一致性
【典例】 已知正数x，y∈R且xy≠0，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为__________．
【错解】：因为x2＋eq \f(1,y2)≥eq \f(2|x|,|y|)，eq \f(1,x2)＋4y2≥eq \f(2×2|y|,|x|)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))≥eq \f(2|x|,|y|)·eq \f(2×2|y|,|x|)＝8.故所求的最小值为8.
【错因分析】：本题在求解过程中分别两次使用基本不等式，但等号成立的条件却不相同，即等号不可能成立，因此最小值不可能是8，因而出错．
【正解答案】：9
【正解】：原式＝1＋4＋4x2y2＋eq \f(1,x2y2)≥1＋4＋2eq \r(4x2y2·\f(1,x2y2))＝9，当且仅当x2y2＝eq \f(1,2)时，等号成立，所以最小值为9.
误区防范：应用基本不等式解题时应注意的三点
(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误．
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y＝x＋eq \f(m,x)(m＞0)的单调性．
【跟踪训练】 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝2，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)＋1))的最小值为__________．
【递进题组】
1．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3)
C．3 D．4
2．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2eq \r(2)－1)
C．(－1,2eq \r(2)－1)
D．(－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1)
3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
4．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是__________．
5．若直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是__________．
【考卷送检】
一、选择题
1．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x<0)，则f(x)的( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a＞0，b＞0)
D.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)
3．若a≥0，b≥0，且a(a＋2b)＝4，则a＋b的最小值为( )
A.eq \r(2) B．4
C．2 D．2eq \r(2)
4．(2019·永州模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若eq \f(c,sin B)＋eq \f(b,sin C)＝2a，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
5．若正数a，b满足a＋b＝2，则eq \f(1,a＋1)＋eq \f(4,b＋1)的最小值是( )
A．1 B.eq \f(9,4)
C．9 D．16
6．(2019·南昌模拟)不等式x2＋2x＜eq \f(a,b)＋eq \f(16b,a)对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
二、填空题
7．设P(x，y)是函数y＝eq \f(2,x)(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．
8．(2019·湖北八校联考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq \f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________．
9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为________．
三、解答题
10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)的最小值．
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
13．若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，则x＋eq \f(1,2y)的最大值为( )
A．－1＋eq \f(3\r(2),2) B．－1＋eq \f(3\r(3),2)
C．1＋eq \f(3\r(3),2) D．－1－eq \f(3\r(2),2)