专题18 双曲线的简单几何性质（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题十八   双曲线的简单几何性质

一 知识结构图

二.学法指导

1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

(1)把双曲线方程化为标准形式；

(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；

(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．

2．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路

由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．

3．常见双曲线方程的设法

(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．

(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．

(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．

(4)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．

4.求双曲线离心率的方法

(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．

(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．

(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．

5.直线与双曲线位置关系的判断方法

(1)方程思想的应用

把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．

①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．

②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．

③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．

当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．

(2)数形结合思想的应用

①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．

②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．

三.知识点贯通

知识点1   根据双曲线方程研究几何性质

例题1.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

【解析】　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，

∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.

又双曲线的焦点在x轴上，

∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，

焦点坐标为(－，0)，(，0)，

实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，

离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.

知识点二   由几何性质求双曲线的标准方程

例题2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；

(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．

【解析】(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.

(2)

法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1.

由题意，得

解得a2＝，b2＝4，

所以双曲线的方程为－＝1.

当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1.

由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)

综上所得，双曲线的方程为－＝1.

法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，

将点(－3,2)代入得λ＝，

所以双曲线方程为－＝，即－＝1.

知识点三   求双曲线的离心率

例题3 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．

【解析】　因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2.

知识点四  直线与双曲线的位置关系

将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.

例题4．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.

(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

【解析】(1)联立方程组

消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.

∵直线与双曲线有两个不同的交点，

则解得－＜k＜，且k≠±1.

∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为

(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，

x1x2＝－，

∴|AB|＝|x1－x2|＝·

＝.

又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，

∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，

即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.

∴实数k的值为±或0.

五 易错点分析

易错一  由双曲线方程求性质

例题5.求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

【解析】方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝，b2＝1，c2＝＋1＝。所以顶点坐标为，，焦点坐标为，。实轴长2a＝，虚轴长2b＝2，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x。

误区警示
由双曲线的方程求性质，应先将方程化为标准方程，谁的系数取正值，交点就在那个轴上。焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x。