专题20 抛物线的简单几何性质（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题二十   抛物线的简单几何性质

一 知识结构图

二.学法指导

1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．

2.抛物线中常见的几个结论：

已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．点F是抛物线的焦点(如图)．

则有

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p.

(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切．

(4)以焦半径为直径的圆与y轴相切．

3．应用抛物线性质解题的常用技巧

(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．

(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．

(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．

(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．

三.知识点贯通

知识点1   抛物线性质的应用

例题1.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．

知识点二   直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．

设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；

②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．

Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．

Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．

例题2：过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？

知识点三   中点弦及弦长公式

直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.

例题3 .过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．

知识点四  抛物线的综合应用

例题4．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)求抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

五 易错点分析

易错一  直线与抛物线的位置关系

例题5.若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．

误区警示
考虑直线与抛物线的位置关系，当含参数时，要分情况讨论。