高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.2 指数函数学案设计

第二讲  指数函数

[玩前必备]

一．根式

1.根式的概念

2.两个重要公式

①＝(n为偶数)；

②()n＝a(注意a必须使有意义)．

二．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．

(2)有理指数幂的运算性质

①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；

②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；

③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．

三．指数函数的图象与性质

（1）指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.

（2）指数函数的图象与性质

[玩转典例]

考向一  指数运算

例1　(1)计算：－0＋＋16－0.75＋|－0.01|；

(2)化简： ÷(a＞0).

(3)已知＝3，求下列各式的值．

①a＋a－1；②a2＋a－2；③

[玩转跟踪]

1.计算下列各式的值：

(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；

(2)(a·b)·÷(a＞0，b＞0).

2.已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值．

考向二 指数函数的图像

【例2】（2020·广东顺德一中高一期中）函数的图像可能是（    ）．

A． B．

C． D．

【例3】（2020·浙江高一课时练习）若函数的图像在第一、三、四象限内，则（    ）

A． B．，且

C．，且 D．

【例4】已知函数 ，则的图象过定点（   ）

A． B． C． D．

[玩转跟踪]

1．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是（    ）

A．B．

C． D．

2．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________

3．若函数，且的图象恒过点，则　　

A．3 B．1 C． D．

考向三 指数函数性质

1.指数函数的单调性

【例5】函数的单调递增区间为（   ）

A． B． C． D．

【玩转跟踪】

1.函数的单调递增区间是（　　）

A． B． C． D．

2.函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．

2.指数函数的定义域和值域

【例6】（1）函数的定义域为_______．

（2）设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为     。

（3）函数的值域为          。

（4）函数f（x）=值域为       。

【玩转跟踪】

1．函数的值域为____________．

2．函数的值域为______．

3. 比较大小

【例7】设，则的大小关系是

A．    B．    C．   D．

【玩转跟踪】

1.已知，，，则（   ）

A．     B．   C．  D．

2．的大小关系是（　　）

A． B．

C． D．

3．已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

考向四 指数函数综合应用

例8　已知函数f(x)＝.

(1)证明f(x)为奇函数.

(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.

(3)求f(x)的值域.

例9　已知函数

写出该函数的单调区间

若函数恰有3个不同零点，求实数m的取值范围

若对所有恒成立，求实数n的取值范围。

[玩转跟踪]

1.设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.

(1)求a的值；

(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

[玩转练习]

1．函数是指数函数，则          。

2．在同一坐标系中，函数y=ax+a与y=ax的图象大致是     。

A．    B．  C．    D．

3．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为           。 

4．函数的值域是     。

5．已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是       。

6．已知，，，则         。

7．函数y=（a＞0，a≠1）过定点______．

8．已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

9.若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．

10.已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为      ．

11.若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为                ．

12.已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是        ．

13.若函数f(x)＝有最大值3，则a＝        .

14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.

15.已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a的取值范围．