第六讲：三角恒等变换与三角函数模型(知识与方法构建)

一、由辅角模型建立三角函数模型

(一)例题

【基础巩固】

【例1】(2020秋•五华区校级月考)函数f(x)cosφ•sin2ωxsinφ•cos2ωx(0＜φ，ω＞0)的一条对称轴为x，最小正周期T＝π，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象，则函数g(x)在区间上的最大值为(　　)

A．1；B．；C．；D．﹣1

【例2】(2021•山东模拟)若函数f(x)＝2sin(2x)+2cos(2x)(|φ|＜π)的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)

A．；B．；C．；D．

【例3】(2020秋•昌江区校级期末)为得到函数的图象，可将函数g(x)＝sin2x向右平移(　　)个单位长度．

A．；B．；C．；D．

【例4】(2020•淇滨区校级模拟)已知函数的周期为π，当时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1+x2)＝(　　)

A．2；B．1；C．﹣1；D．﹣2

【重点提高】

【例5】(2020秋•松山区校级期末)函数f(x)sinxcosx﹣cos2x，若f(x+φ)是偶函数，则tan2φ＝______．

【例6】(2020秋•道里区校级期末)已知函数f(x)＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R，则(　　)

A．f(x)的最大值为1；B．f(x)在区间(0，π)上只有1个零点；

C．f(x)的最小正周期为；D．为f(x)图象的一条对称轴

【例7】(2021•山东模拟)若函数f(x)＝2cosωxsin(ωx)(ω∈N*)的图象的一条对称轴为x，则ω的最小值为(　　)

A．5；B．3；C．2；D．1

【例8】(2020秋•胶州市期中)函数)的单调递增区间是(　　)

A．；B．；C．；D．

【例9】(2020•安庆模拟)已知函数f(x)＝2cos(sin(ω＞0)，若函数f(x)在区间(﹣ω，ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为(　　)

A．；B．π；C．3；D．3π

【难点突破】

【例10】(2020•大庆三模)已知函数是偶函数．若将曲线y＝f(2x)向左平移个单位长度后，得到曲线y＝g(x)，则函数y＝g(x)的单调递增区间是(　　)

A．；B．；

C．；D．

【例11】(2020秋•沙市区校级期末)已知函数(ω＞0)在[0，π]上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是(　　)

A．；B．；C．；D．

【例12】(2021•十模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω＞0，φ＜0)，若点(，0)为函数f(x)的对称中心，直线x为函数f(x)的对称轴，并且函数f(x)在区间(，)上单调，则f(2ωφ)＝(　　)

A．﹣1；B．；C．；D．

【例13】(2020春•正定县校级月考)若2sin(α)＝3sinα，则tan2α＝(　　)

A．；B．；C．；D．

(二)练习

1．(2020秋•凯里市校级期末)若函数f(x)＝sinxcosφ+cosxsinφ(0≤φ≤π)为偶函数，则φ的取值为(　　)

A．0；B．；C．；D．π

2．(2020秋•1月份月考)函数g(x)的图象是由函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位长度得到的，则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)

A．g(x)为奇函数；B．g(x)为偶函数；

3．(2020秋•香坊区校级期末)若函数f(x)sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0＜θ＜π)的图象关于(，0)对称，则θ＝______．

4．(2020秋•河南期中)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωx，且f(x)图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f(x)的最小值为(　　)

A．﹣1；B．；C．；D．﹣2

5．(2021•浙江模拟)已知函数f(x)＝2cos2x+2sinxcosx﹣1，则f(x)的最小正周期为______，在区间[0，]上的值域为______．

6．(2019秋•台江区校级期末)不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．；B．；C．；D．

7．(2020秋•荆州期末)已知函数f(x)＝2sin2xcos2x+cos42x﹣sin42x，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π；B．f(x)的图象关于直线对称；

C．f(x)的单调递增区间为；D．f(x)的图象关于点对称

8．(2020•邵阳二模)已知函数，若f(x)在上无零点，则ω的取值范围是(　　)

A．；B．；C．；D．

9．(2020•桐乡市校级模拟)已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f(x1)•f(x2)＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为(　　)

A．；B．0；C．；D．

10．(2020•汕头二模)已知函数的最小正周期为π，若m，n∈[﹣2π，2π]，且f(m)•f(n)＝9，则m﹣n的最大值为(　　)

A．2π；B．；C．3π；D．

二、正切和差模型

【母题探源】(苏教(2019)版必修第二册P60)如图，两座建筑物，的高度分别是9和15，从建筑物的顶部处看建筑物的张角，求建筑物和的底部之间的距离．

解析：如图，作于点．，，，，．

设，．，．在和中，有

，．，．化简，得

，解得，(舍去)．

答：两座建筑物底部之间的距离等于18．

(一)例题

【例14】(2019•西湖区校级模拟)如下左图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，E为下底CD上的一点，若AB＝CE＝2，DE＝3，AD＝5，则tan∠EBC＝______．

【例15】(2019•浙江模拟)如上中图，在宽8米的矩形教室MEFN正前方有一块长6米的黑板AB，学生座位区域CEFD距黑板最近1米，在教室左侧边CE上寻找黑板AB的最大视角点P(即使∠APB最大)，则CP＝______时，∠APB最大．

【例16】(2019•平湖市模拟)如上右图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M，N分别是边AB，AD上的点，设AM＝m，AN＝n，且m，n满足2(m﹣1)(n﹣1)＝1，则tan∠MCN的最大值为______．

【例17】(2018春•太原期末)如图是某足球场地的局部平面示意图，点A，B表示球门的门柱，某运动员在点P处带球沿直线PC运动，准备将足球打入此球门，已知PC⊥AB，AC＝a，BC＝b，PC＝x．

(1)请用a，b，x表示tan∠APB；

(2)若b＝3a，b﹣a＝7.32m，求该运动员最佳打门时的x值(精确到0.1m)．

(二)练习

11．(2020•吉林模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④．其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①③；B．①③④；C．①④；D．②③④

12．(2019秋•南山区校级期末)如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝______．