数学北师大版3.4 整式的加减导学案

整式的加减（一）——合并同类项（提高）

【学习目标】

1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；

2. 掌握同类项的有关应用；

3. 体会整体思想即换元的思想的应用．

【要点梳理】

要点一、同类项

 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

 要点诠释： 

(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．

(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．

要点二、合并同类项

1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．

要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：

(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；

(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．

【典型例题】

类型一、同类项的概念 

1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项：

    (1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．

【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．

【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.

2．（2020•邯山区一模）如果单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求

（1）（7a﹣22）2013的值；

（2）若5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．

【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；

（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．

【答案与解析】解：（1）由单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3；

∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；

（2）由5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得

5m﹣5n=0，

解得m=n；

∴（5m﹣5n）2014=02014=0．

【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．

举一反三：

【变式】（2015•石城县模拟）如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（　　）

A. a=2，b=3      B. a=1，b=2       C. a=1，b=3      D. a=2，b=2

【答案】C

解：根据题意得：a+1=2，b=3，

则a=1．

类型二、合并同类项

3．合并同类项：

；；

;

  （注：将“”或“”看作整体）

【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．

【答案与解析】

  （1）

（2）

（3）原式=

（4）

【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.

举一反三：

【变式1】

化简：（1） （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)

【答案】原式

（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)

   =(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)

   =(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)

   =-(a-2b)2+3(a-2b).

4.（2020•大丰市一模）若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n=　    　．

【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．

【答案】-1

【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得

，

解得．

m+n=﹣1，

故答案为：﹣1．

【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．

举一反三：

【变式】若与可以合并，则　　，　　 .

【答案】

类型三、化简求值

5. 化简求值：

（1）当时，求多项式的值．

（2）若，

求多项式的值．

【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：

  原式=

     =

将代入，得：

（2）把当作一个整体，先化简再求值：

原式=

由可得：

  两式相加可得：，所以有

代入可得：原式=

【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．

举一反三：

【变式】.

【答案】

类型四、综合应用

6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.

【答案与解析】

法一：由已知

ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)

    ∴   解得：

∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.

法二：说明：此题的另一个解法为：由已知

(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得

 解得：

【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．

举一反三：

【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.

【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1

∵  此多项式的值与x的值无关，

∴    解得:

当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.

∵(x-m)2≥0，

∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.

【变式2】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．

【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：

 因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，

又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，

所以有 ，．