2022年全国各地自招数学好题汇编之专题15 比例（word版含答案）

专题15  比例

一．选择题（共6小题）

1．（2019•顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）

A． B． 

C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y

2．（2017•青羊区自主招生）若α，b，c均为实数，且＝＝＝x，则x的值为（　　）

A．1 B． C．或1 D．或﹣1

3．（2017•温江区校级自主招生）如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则＝（　　）

A．3：7 B．4：9 C．5：11 D．6：13

4．（2017•余姚市校级自主招生）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

5．（2017•诸暨市校级自主招生）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF：FD＝（　　）

A．2：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2

6．（2020•浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共8小题）

7．（2020•温江区校级自主招生）若a：b：c＝3：5：8，3a+b﹣c＝18，则a＝　 　．

8．（2018•涪城区校级自主招生）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为　              　．

9．（2016•李沧区校级自主招生）如图在△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知＝n，则＝　                　．

10．（2016•宝山区校级自主招生）已知a，b为非零实数，且，则＝　              　．

11．（2014•宝山区校级自主招生）已知，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，则△ABC的面积是　                　．

12．（2016秋•温江区校级月考）如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，那么DB：CD＝　    　．

13．（2015•海淀区校级自主招生）若＝＝（x，y，z均不为0），＝1，则m的值为　 　．

14．（2012•麻城市校级自主招生）已知a，b，c均为非零实数，满足：＝＝，则的值为　     　．

三．解答题（共6小题）

15．（2017•青羊区自主招生）在△ABC中，已知点D是∠A的内角平分线上的一点，E，F分别为AB，AC延长线上的点．若CD∥BF，且CD与AB交于点G，BD∥CE，且BD与AC交于点H．

（1）求证：BE＝CF；

（2）若M，N分别为CE，BF的中点，求证：AD⊥MN．

16．（2016•宝山区校级自主招生）已知，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，求△ABC的面积S．

17．（2015•长沙县校级自主招生）如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．

18．（2015•成都校级自主招生）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，

求证：MN+PQ＝2PN．

19．已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值．

20．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF＝∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：BE＝DF；

（2）当＝时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

专题15  比例

参考答案

一．选择题（共6小题）

1．【解答】解：A、∵，

∴＝，此选项正确，不合题意；

B、∵，

∴＝﹣，此选项错误，符合题意；

C、∵，

∴＝，此选项正确，不合题意；

D、∵，

∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；

故选：B．

2．【解答】解：∵＝＝＝x，

∴①当α+b+c≠0时，x＝＝；

②当α+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则x＝＝＝﹣1．

故选：D．

3．【解答】解：连接DE，如图，AF＝2FC，则AF＝AC，

∵D、E分别为BC，AB中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，DE＝AC，

∵DE∥AF，

∴＝＝＝＝，

设S△DEG＝3x，则S△AEG＝4x，

∵＝＝，

∴S△AGF＝x，

∵AE＝BE，

∴S△ABD＝2S△ADE＝2（3x+4x）＝14x，

∵BD＝CD，

∴S△ADC＝S△ABD＝14x，

∴S四边形CDGF＝14x﹣x＝x，

∴＝＝．

故选：D．

4．【解答】解：根据比例的性质，

由原式得，＝，

整理得，＝，

2（m+n）＝14，

m+n＝7．

故选：A．

5．【解答】解：延长BF交CD的延长线与点G，连接AG，如图，

∵AB∥CD，E是对角线AC的中点，

∴四边形ABCG是平行四边形，

∴GC＝AB，

又AB＝3CD，

∴GD＝2CD，

∴＝＝，

故选：D．

6．【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，

∵ED∥FC，

∴＝＝，

设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，

∵AB＝AC，

∴AE＝FC＝3x，

∵DE∥AF，

∴＝，即＝，

整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，

∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，

∴y＝6x，

∴＝＝．

故选：A．

二．填空题（共8小题）

7．【解答】解：设a＝3k，b＝5k，c＝8k（k≠0），

∵3a+b﹣c＝18，

∴3×3k+5k﹣8k＝18，

6k＝18，

解得：k＝3，

∴a＝3k＝9，

故答案为：9．

8．【解答】解：过P作PQ⊥MN，

∵PM＝PN，

∴MQ＝NQ＝，

在Rt△OPQ中，OP＝10，∠AOB＝60°，

∴∠OPQ＝30°，

∴OQ＝5，

则OM＝OQ﹣QM＝，

∵CD∥ON，

∴，

∴＝＝，

故答案为；．

9．【解答】解：作DH∥CE交AB于H，

∴＝＝1，

∵DH∥CE，

∴＝＝n，

∴＝，

故答案为：．

10．【解答】解：由，得

b＝﹣a．

＝＝，

故答案为：．

11．【解答】解：作CD⊥AB于D，在BC上截取一点F，使得AF＝AB．

∵CA＝CB，∠ACB＝36°，

∴∠B＝∠AFB＝72°，

∵∠FAB＝∠CAF＝36°＝∠ACB，

∴AB＝AF＝CF，设AB＝AF＝CF＝x，

由△ABF∽△CBA，

∴AB2＝BF•BC，

∴x2＝（1﹣x）•1，

∴x＝，

∵CA＝CB，CD⊥AB，

∴AD＝DB＝，

∴CD＝＝＝，

∴S△ABC＝•AB•CD＝．

故答案为＝．

12．【解答】解：过E点作EF∥BC，交AD于F．

∵AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，

∴EF：BD＝3：（3+2）＝3：5，EF：CD＝（6﹣5）：5＝1：5＝3：15，

∴DB：CD＝5：15＝1：3．

故答案为：1：3．

13．【解答】解：设＝＝＝a，

∴x＝2a，y＝3a，z＝am，

∵＝＝1，

∴m＝4，

故答案为：4．

14．【解答】解：（1）当a+b+c≠0时：＝＝，

利用等比性质得到：＝＝＝＝＝1；

而＝，

∴，同理＝＝2，

∴＝8；

（2）当a+b+c＝0时，则b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，则＝＝﹣1．

三．解答题（共6小题）

15．【解答】（1）证明：过点G作GQ⊥BD于Q，过点H作HP⊥CD于P．

∵D是∠A的内角平分线上的一点，

∴点D到AB，AC的距离相等，

∴＝＝＝＝①，

∵EC∥DB，BF∥CD，

∴＝，＝，

∴＝②，

由①②得到，＝1，

∴BE＝CF．

（2）证明：取BC的中点K，连接KM，KN．

∵CM＝EM，BN＝NC，

∴MK＝BE．MK∥BE，KN＝CF，KN∥BC，

作∠MKN的角平分线KJ，则KJ⊥MN，

∵MK∥AE，KN∥AF，

∴AD∥KJ，

∵KJ⊥MN，

∴AD⊥MN．

16．【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，

∴AB：AC＝，

∴AB＝．

作等腰△ABC底边上的高CD，则AD＝AB＝，

在△ACD中，根据勾股定理得

CD＝＝，

∴S△ABC＝AB•CD＝××＝．

17．【解答】解：过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，

∵BM＝MN＝NC，

∴BG＝GH＝AH，

∵HK∥GM，

∴KH＝GM，GM＝NH，

∴HK＝NH，

∴＝，

∴DF∥NH，

∴＝，＝，

∴＝，

∴＝＝3．

18．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，

∵F是AC的中点，

∴DF的延长线必过O点，且．

∵AB∥CD，

∴．

∵AD∥CE，

∴．

∴＝＝．

又∵＝，

∴OQ＝3DN．

∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．

∴AN+CQ＝2DN．

∴＝＝2．

即MN+PQ＝2PN．

19．【解答】解：当a+b+c≠0时，

利用比例的性质化简已知等式得：＝＝＝＝＝1，

即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，

整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，

此时原式＝＝8；

当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，

则原式＝﹣1．

综上可知，的值为8或﹣1．

20．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADF，

∵∠BAF＝∠DAE，

∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，

即：∠BAE＝∠DAF，

∴△BAE≌△DAF

∴BE＝DF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴△ADG∽△EBG

∴＝

又∵BE＝DF，＝

∴＝＝

∴，又∠BDC＝∠GDF

故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC＝∠DGF

∴GF∥BC （同位角相等则两直线平行）

∴∠DGF＝∠DBC

∵BC＝CD

∴∠BDC＝∠DBC＝∠DGF

∴GF＝DF＝BE

∵GF∥BC，GF＝BE

∴四边形BEFG是平行四边形