平面图形的认识学案（无答案）

一、教学目标

1、理解线段、直线的性质，会有规律的数线段、射线、直线，会进行关于线段的计算说理。

2、比较线段的大小

二、知识梳理

（一）直线、线段、射线

1. 点

（2）表示方法：

用一个大写字母表示。如：点A

2. 线段

    线段的概念、表示方式、性质和中点

 （1）概念：日常生活中，一个拉紧的绳子，一根竹竿都给我们以线段的形象。线段是直的，它有两个端点，可以度量。

 （2）线段的表示方法：用线段的两个端点的大写字母来表示，或用一个小写字母来表示。如图，以AB为端点的线段记作“线段AB”或“线段BA”；还可以用“线段a”来表示图中的线段AB。

  (3)线段的基本性质：两点之间的所有线段中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

 （4）线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。如图，点C是线段AB的中点，则AC=BC=AB或AB=2AC=2BC。

    线段的长度及延长线的概念

  （1）距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身。

  （2）线段的长度可以用刻度尺度量或用圆规度量。

  （3）利用直尺可以将线段向任何一端延伸，延伸的部分称为延长线，通常用虚线来表示。

  注意·提点：

  （1）线段是一个没有定义的原始概念，线段是直的，有两个端点，能比较大小，线段不向外延伸。

  （2）用线段两个端点的大写字母来表示线段时，要在字母前加上“线段”两字。

  （3）用小写字母表示线段时，要在字母前加上“线段”两字。

3. 射线

射线的概念及表示方法

     （1）射线的概念：把线段向一方无限延伸所形成的图形就是射线，如图，把线段OM向一方无限延伸，就得到一条射线，点O是这条射线的端点。

     （2）射线的表示方法：用射线上的端点和射线上的另外任意一点的两个大写字母表示。如图中的射线可以表示为“射线OM”。

          注意·提点

     （1）射线只有一个端点，向一方无限延伸，故射线不可以度量，不能比较大小。

     （2）端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，端点不同的射线也不是同一条射线。

   （3）表示射线时，表示端点的字母必须写在前面。

4. 直线：

（1）

（2）表示方法：

①用这条直线上的两个点的大写字母来表示。如：直线MN

注意：表示线段的两个字母没有顺序。如：直线MN与直线NM表示的是同一条直线

②用一个小写字母来表示。如：直线l

（3）性质：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

（二）角

1.角

（1）角的概念：

    角是由两条具有公共端点的射线所组成的图形；其中这个公共端点叫做角的顶点，两点射线分别叫做角的边。角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形。

注意·提点

     a.角的两条边是射线，角的大小与边的长短无关。

     b.角的本质属性：角必须有一个顶点和两条边，两者缺一不可。

（2）角的组成部分：

角的两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。如图：

（3）角的表示方法：

（4）特殊角：

当角的两边（两条射线）成一条直线时，这时所形成的角叫做平角；

当角的终边绕其端点旋转到再次与终边重合的时候所形成的角叫做周角。

（5）角的度量单位：

把周角分成360份，每一份为1度，记作1°，因此一个周角的度数就是360°，但一个角的度数未必都是整数，把1度平均分成60份，每一份为1'，读作1分；把1'平均分成60份，则每一份为1″，读作1秒。

度、分、秒是常用的角的度量单位；进率是60（与时间的单位：时、分、秒的换算一样），即1°＝60'，1'＝60"

2. 角的分类：

大于0°而小于90°的角叫锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°而小于180°的角叫做钝角； 180°的角叫做平角；360°的角叫做周角。

1周角＝2平角＝4直角

3. 角的大小比较：

比较两个角的大小，可以有两种方法：

（1）重合法：把一个角放到另外一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧，再比较大小。

（2）度量法：比较两个角的度数，度数大的角大。

说明：①两种方法的比较结果是一致的。

②利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小。

③在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关。这是因为角的边是射线而非线段．若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大。

4. 余角、补角、对顶角。

余补角的定义、表示方法及性质

（1）余角的定义及表示方法

       ① 概念：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角。

       ② 符号表示：若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；反之，若∠α与∠β互余，则∠α+∠β=90°。若∠α=90°-∠β，则∠β=90°-∠α。

（2）补角的定义及表示方式

       ① 定义：如果两个角的和为一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角。

       ② 符号表示：若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠α与∠β互补，则∠α+∠β=180°。若∠α=180°-∠β，则∠β=180°-∠α。

（3）余角、互角的性质

     同角（或等角）的余角相等。同角（或等角）的补角相等。

5. 角平分线：

（1）定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

（2）几何语言表示：OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB（或）

说明：若∠COB＝∠AOC，则OC是∠AOB的平分线，同样有两条三等分线，三条四等分线，等等。

（3）对于角平分线的概念，要注意以下两点：

①它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分。

②要掌握角平分线的数学表达式：若OC是∠AOB的平分线，

     则∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB或

6. 钟面角：

（1）钟面角是指时针与分针在某一时刻所成的角。

我们知道钟面数字从1到12共有12个大格，60个小格，而1周角＝360°，所以钟面上每个大格对应360°÷12＝30°的角，每个小格对应360°÷60＝6°的角，这样，时针每走1小时对应30°的角，每走1分钟对应30°÷60＝0.5°的角；分针每走1分钟对应6°的角。

（2）钟面角的计算公式：

①当时针在分针前面时，钟面角＝30°m+0.5°n－6°n；

②当时针在分针后面时，钟面角＝6°n－30°m－0.5°n；

其中m表示时针所指钟面的时钟数，n表示分针所指钟面的分钟数，即m点n分。

（三）平行、垂直

1、两条直线的关系：

1）平行：

①平行的描述性语言：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，两条直线有哪几种位置关系；在空间里，两条直线又有哪几种位置关系。

②表示方法

③画平行线

④平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；如果两条直线都和已知直线平行，那么这两条直线也互相平行。

2）垂直：

①两条直线互相垂直的概念：两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。

②表示方法、画法。

三、典型例题

1、如图所示,能读出的线段条数共有()

A. 8条   B. 10条  C. 6条   D. 12条

2、点A. B. C在同一条数轴上,其中点A. B表示的数分别为−3、1,若BC=2,则AC等于()

A. 3  B. 2   C. 3或5   D. 2或6

3、往返于A. B两地的客车，中途停靠四个站，共有___种不同的票价，要准备___种车票。

已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使BC=3cm，则线段AC=___.

4、如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有___个交点，n条直线相交最多有___个交点。

5、如图，已知线段AB上有一点C，线段AC的长是线段BC长的一半多2cm.

(1)若线段AB的长是acm(a>2)，写出用a表示的线段BC长的式子；

(2)当AB=11cm时，求线段AC的长。

6、如图,点C,E,D在线段AB上,且AB=3AC,AB=4BD,AE=CD.则线段CE与AB长度之间的关系是()

A. AB=12CE    B. AB=11CE    C. AB=10CE     D. AB=9CE

7、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手。

(1)一条直线把平面分成2部分；

(2)两条直线最多可把平面分成4部分；

(3)三条直线最多可把平面分成7部分…；

把上述探究的结果进行整理，列表分析：

(1)当直线条数为5时，把平面最多分成___部分，写成和的形式___；

(2)当直线为10条时，把平面最多分成___部分；

(3)当直线为n条时,把平面最多分成___部分.(不必说明理由)

8、如图,某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A. C. D. B,AC=CD=DB.现想在AB段建一个加油站M,要求使A. C. D. B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少,则M的位置在()

A. 在AB之间    B. 在CD之间     C. 在AC之间       D. 在BD之间

9、如图，B. C是线段AD上的任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，如果MN=3cm，BC=1.5cm，求AD的长。

10、已知：点A. B. C. D. E在同一直线上，满足D. E分别是AB、BC的中点，若AB=12cm，BC=4cm，则线段DE的长为______cm.

四、巩固练习

11、如图，线段AB=9cm，BC=6cm，点M是AC的中点。

(1)则线段AC=___cm，AM=___cm；

(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=1:2.求MN的长。

12、如图，线段AB=9cm，BC=6cm，点M是AC的中点。

(1)则线段AC=___cm，AM=___cm；

(2)在CB上取一点N，使得CN:NB=1:2.求MN的长。

13、如图，已知线段AB:BC:CD=2:3:4，E. F分别是AB和CD的中点，且EF=12cm，则线段AD的长为______cm.

14、中午12点15分时,钟表上的时针和分针所成的角是()

A. 90∘   B. 75∘   C. 82.5∘    D. 60∘

15、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为______.

16、已知∠AOB=30∘,又自∠AOB的顶点O引射线OC,若∠AOC:∠AOB=4:3,那么∠BOC=()

A. 10∘   B. 40∘   C. 70∘   D. 10∘或70∘

17、观察如图，回答下列问题：

(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有______个不同的角；

(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有______个不同的角；

(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有______个不同的角；

(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…则图中有______个不同的角；

(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…则图中有______个不同的角。

18、如图所示，∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON是∠AOC的角平分线，OM是∠BOC的角平分线；

（1）如果∠AOC=60°时，∠MON=______；
（2）如果∠AOC=50°时，∠MON=______；
（3）设∠AOC=x°时，利用你学过的一元一次方程思想，求∠MON的度数．你发现了（证明）一个什么规律？

19、如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处。

(1)①∠AOD和∠BOC相等吗?说明理由。

②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系?说明理由。

(2)若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处。

①∠AOD和∠BOC相等吗?说明理由。

②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗?说明理由。

20、如图,OA的方向是北偏东15∘,OB的方向是西偏北50∘.

(1)若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是______；

(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是______；

(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是______；

(4)在(1)、(2)、(3)的条件下,∠COE=______∘.

五、拓展提升

1、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：

(1)若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为___________；

(2)若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；

(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．  

(4)三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当∠ACE(0°＜∠ACE＜90°)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠ACE角度所有可能的值，不用说明理由．

2、、如图，将长方形纸片的两角分别折叠，使顶点B落在B′处，顶点A落在 处，ED、EC为折痕，点E、A′、B′在同一条直线上．

（1）猜想折痕EC和ED的位置关系，并说明理由；

（2）ED的反向延长线交CA交于F，若∠BED=32°，求∠AEF和∠A′EC的度数．

六、课后总结