高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册第二章 电磁感应综合与测试导学案

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习题课三　电磁感应中的动力学、能量问题 1．进一步熟练掌握牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等基本规律。 2．掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。 3．理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和解决电磁感应问题。 [问题探究] 在电磁感应现象中导体运动切割磁感线，产生感应电流，感应电流使导体受到安培力的作用。因此，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起。那么请同学们思考，解决电磁感应中的力学问题时应从哪两个方面入手？ 提示：一方面要考虑电磁学中的有关规律；另一方面还要考虑力学中的有关规律，要将电磁学和力学知识综合起来应用。 [要点归纳] 1．导体的两种运动状态 (1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态。 处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。 (2)导体的非平衡状态——加速度不为0。 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。 2．力学对象和电学对象的相互关系 [例题1]　如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距l＝1 m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝0.2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2(式中v为杆ab运动的速度，所有物理量均采用国际单位制)、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。 (1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程； (2)求电阻R的阻值； (3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。 [思路点拨] 1．金属杆下滑时电动势如何计算？所构成的电路是怎样的？ 2．杆受哪些力？谁是恒力，谁是变力？ 3．杆运动时加速度、速度如何变化？ [解析]　(1)通过R的电流I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(Blv,R＋r)，因为B、l、R、r为定值，所以I与v成正比，因通过R的电流I随时间均匀增大，即杆的速度v随时间均匀增大，即杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速运动。 (2)对回路电流进行分析，根据闭合电路欧姆定律，得 I＝eq \f(Blv,R＋r) 对杆进行受力分析，根据牛顿第二定律，有 F＋mgsin θ－BIl＝ma 将F＝0.5v＋2代入得 2＋mgsin θ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.5－\f(B2l2,R＋r)))v＝ma 因为v为变量，a为定值，所以a与v无关，必有 ma＝2＋mgsin θ 0．5－eq \f(B2l2,R＋r)＝0 解得a＝8 m/s2，R＝0.3 Ω。 (3)由x＝eq \f(1,2)at2得， 所需时间t＝ eq \r(\f(2x,a))＝0.5 s。 [答案]　(1)见解析　(2)0.3 Ω　(3)0.5 s “四步法”分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下： 　　　　 [针对训练] 1．如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导体之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是(　　) A．ab中的感应电流方向由b到a B．ab中的感应电流逐渐减小 C．ab所受的安培力保持不变 D．ab所受的静摩擦力逐渐减小 解析：选D　磁感应强度均匀减小，穿过闭合回路的磁通量减小，根据楞次定律结合安培定则可知，ab中的感应电流方向由a到b，选项A错误；由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律可得E＝eq \f(ΔBS,Δt)，可知感应电动势恒定，则ab中的感应电流不变，选项B错误；根据安培力公式F＝IlB知，电流不变，B随时间均匀减小，则安培力F减小，选项C错误；ab始终保持静止，处于平衡状态，安培力和静摩擦力大小相等，即f＝F，安培力减小，则静摩擦力减小，选项D正确。 2．如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距l＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2。从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：(g＝10 m/s2) (1)导体棒所能达到的最大速度； (2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像。 解析：(1)导体棒切割磁感线，产生的感应电动势 E＝Blv① 回路中的感应电流I＝eq \f(E,R＋r)② 导体棒受到的安培力F安＝BIl③ 导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律，有 F－μmg－F安＝ma④ 由①②③④得F－μmg－eq \f(B2l2v,R＋r)＝ma⑤ 由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大。 此时有F－μmg－eq \f(B2l2vmax,R＋r)＝0⑥ 可得vmax＝eq \f(F－μmgR＋r,B2l2)＝10 m/s。⑦ (2)由(1)中分析可知，导体棒运动的速度—时间图像如图所示。 答案：(1)10 m/s　(2)见解析图 [问题探究] 如图所示，用丝线把闭合金属环悬挂于点O，图中虚线的左边有匀强磁场，右边则没有磁场，用手拨动金属环，使悬线偏离竖直位置，放手后，金属环摆动， 但金属环的摆动会很快停下来。试从能量转化角度解释这一现象。若整个空间都有向外的匀强磁场，还会有这种现象吗？ 提示：金属环进出磁场的过程中产生感应电流，环中会有电热产生，部分机械能转化为内能，故金属环摆动几次便停下来。若整个空间都有向外的匀强磁场，则金属环中无感应电流产生，机械能守恒，金属环会一直摆动(不考虑空气阻力)。 [要点归纳] 1．能量转化的过程分析 电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功，则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。 2．求解焦耳热Q的几种方法 [例题2]　如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求： (1)金属杆ab运动的最大速度； (2)金属杆ab运动的加速度为eq \f(1,2)gsin θ时，电阻R上的电功率； (3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功。 [思路点拨] 第一步：抓关键点 第二步：找突破口 (1)根据受力平衡列方程，安培力F＝mgsin θ； (2)根据牛顿第二定律，求解加速度为eq \f(1,2)gsin θ时的安培力； (3)根据能量转化与守恒定律，求解此过程中克服安培力所做的功。 [解析]　 (1)当杆达到最大速度时安培力F＝mgsin θ 安培力F＝BId 感应电流I＝eq \f(E,R＋r) 感应电动势E＝Bdvmax 解得最大速度vmax＝eq \f(mgR＋rsin θ,B2d2)。 (2)当金属杆ab运动的加速度为eq \f(1,2)gsin θ时 根据牛顿第二定律，有mgsin θ－BI′d＝m·eq \f(1,2)gsin θ 电阻R上的电功率P＝I′2R 解得P＝eq \f(m2g2Rsin2θ,4B2d2)。 (3)根据动能定理mgx·sin θ－WF＝eq \f(1,2)mvmax2－0 解得WF＝mgx·sin θ－eq \f(1,2)·eq \f(m3g2R＋r2sin2θ,B4d4)。 [答案]　(1)eq \f(mgR＋rsin θ,B2d2)　(2)eq \f(m2g2Rsin2θ,4B2d2) (3)mgx·sin θ－eq \f(1,2)·eq \f(m3g2R＋r2sin2θ,B4d4) [针对训练] 1．[多选]如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中(　　) A．恒力F做的功等于电路产生的电能 B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能 C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能 D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和 解析：选BD　由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W安＝W电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于棒ab获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和，即WF－Wf＝W电＋Ek，选项C错误，D正确。 2．如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度l＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值R＝0.40 Ω的电阻，质量m＝0.01 kg、电阻r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上。现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图像中的OA段为曲线，AB段为直线，g取10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求： (1)判断金属棒两端a、b的电势高低； (2)磁感应强度B的大小； (3)在金属棒ab开始运动的1．5 s内，电阻R上产生的热量。 解析：(1)由右手定则可知，ab中的感应电流由a流向b，ab相当于电源，则b端电势高，a端电势低。 (2)由x­t图像，得t＝1．5 s时金属棒的速度 v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(11.2－7.0,2.1－1.5) m/s＝7 m/s 金属棒匀速运动时所受的安培力大小F＝BIl I＝eq \f(E,R＋r)，E＝Blv 联立解得F＝eq \f(B2l2v,R＋r) 根据平衡条件，得F＝mg 则有mg＝eq \f(B2l2v,R＋r) 代入数据解得B＝0.1 T。 (3)金属棒ab在开始运动的1．5 s内，金属棒的重力势能减小，转化为金属棒的动能和电路的内能。设电路中产生的总焦耳热为Q 根据能量守恒定律，得mgx＝eq \f(1,2)mv2＋Q 代入数据解得Q＝0.455 J 故R产生的热量QR＝eq \f(R,R＋r) Q＝0.26 J。 答案：(1)a端电势低，b端电势高　(2)0.1 T (3)0.26 J 1．如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都忽略不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　) A．ef将减速向右运动，但不是匀减速，最后停止 B．ef将匀减速向右运动，最后停止 C．ef将匀速向右运动 D．ef将往返运动 解析：选A　ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，由F＝BIl＝eq \f(B2l2v,R)＝ma知，ef做的是加速度逐渐减小的减速运动，故A正确。 2．如图所示，MN和PQ是两根互相平行且竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，经过一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像不可能是下图中的(　　) 解析：选B　S闭合时，若金属杆受到的安培力eq \f(B2l2v,R)＞mg，ab杆先做加速度逐渐减小的减速运动再做匀速运动，D项有可能；若eq \f(B2l2v,R)＝mg，ab杆匀速运动，A项有可能；若eq \f(B2l2v,R)＜mg，ab杆先做加速度逐渐减小的加速运动再做匀速运动，C项有可能；由于v变化，mg－eq \f(B2l2v,R)＝ma中a不恒定，故B项不可能。故选B。 3．[多选]用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r≪R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略其他影响，则(重力加速度为g)(　　) A．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针方向的感应电流 B．圆环因受到了向下的安培力而加速下落 C．此时圆环的加速度a＝eq \f(B2v,ρd) D．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vmax＝eq \f(ρdg,B2) 解析：选AD　由右手定则可以判断感应电流的方向为(俯视)顺时针方向，可知选项A正确；由左手定则可以判断，圆环受到的安培力向上，阻碍圆环的运动，选项B错误；圆环垂直切割磁感线，产生的感应电动势E＝Blv＝B·2πR·v，圆环的电阻R电＝eq \f(ρ·2πR,πr2)，则圆环中的感应电流I＝eq \f(E,R电)＝eq \f(Bπr2v,ρ)，圆环所受的安培力F安＝BI·2πR，圆环的加速度a＝eq \f(mg－F安,m)，m＝d·2πR·πr2，则a＝g－eq \f(B2v,ρd)，选项C错误；当重力等于安培力时圆环速度达到最大，此时a＝0，可得vmax＝eq \f(ρgd,B2)，选项D正确。 4．如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为l，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接。金属导轨右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、接入电路的电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。金属棒穿过磁场区域的过程中(　　) A．流过金属棒的最大电流为eq \f(Bd\r(2gh),2R) B．通过金属棒的电荷量为eq \f(Bdl,R) C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒产生的焦耳热为eq \f(1,2)mg(h－μd) 解析：选D　金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律，得mgh＝eq \f(1,2)mv2，金属棒到达平直部分时的速度v＝eq \r(2gh)，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，最大感应电动势E＝Blv，最大感应电流I＝eq \f(E,R＋R)＝eq \f(Bl\r(2gh),2R)，故A错误；通过金属棒的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(Bdl,2R)，故B错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理得mgh－W安－μmgd＝0－0，克服安培力做的功W安＝mgh－μmgd，故C错误；克服安培力做的功转化为焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热Q′＝eq \f(1,2)Q＝eq \f(1,2)W安＝eq \f(1,2)mg(h－μd)，故D正确。 5．如图所示，光滑平行金属导轨间距为l，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力。 (1)求ab开始运动时的加速度a； (2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况。 解析：(1)对初始状态的ab受力分析，利用牛顿第二定律，得 mgsin θ＋BIl＝ma① 对回路分析，流经ab金属杆的感应电流 I＝eq \f(E,R)＝eq \f(Blv0,R)② 联立①②得 a＝gsin θ＋eq \f(B2l2v0,mR)。 (2)上滑过程： 由第(1)问中的分析可知，上滑过程中ab杆的加速度大小表达式为 a上＝gsin θ＋eq \f(B2l2v,mR)③ 上滑过程中a、v反向，ab做减速运动。利用③式，v减小则a减小，可知，ab上滑时做加速度逐渐减小的减速运动。 下滑过程： 由牛顿第二定律，对ab受力分析得 mgsin θ－eq \f(B2l2v,R)＝ma下④ a下＝gsin θ－eq \f(B2l2v,mR)⑤ 因a下与v同向，ab做加速运动。 由⑤得v增加，a下减小，ab做加速度减小的加速运动。若初速度v0足够大时，ab可能在下滑一段时间且未到达出发位置时受到的安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，之后ab做匀速运动。 答案：(1)gsin θ＋eq \f(B2l2v0,mR) (2)上滑过程为加速度逐渐减小的减速运动　下滑过程为加速度逐渐减小的加速运动，若初速度v0足够大时，ab可能在下滑一段时间且未到达出发位置时受到的安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，之后ab做匀速运动。 电磁感应中的动力学问题电磁感应中的能量问题公式法Q＝I2Rt功能关系法焦耳热等于克服安培力做的功能量转化法焦耳热等于其他形式能的减少量关键点获取信息光滑金属轨道与水平面成θ角固定金属杆不受摩擦力，且沿轨道向下的分力为mgsin θP、M间所接电阻阻值为R；金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r；轨道足够长且电阻不计金属杆与轨道、电阻R所组成的闭合回路的内电阻为r，外电阻为R金属杆ab沿轨道下滑距离x时，达到最大速度金属杆高度降低了xsin θ，此后受力平衡以最大速度继续下滑