高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题）学案

www.ks5u.com第50炼 等比数列性质

一、基础知识

1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比

注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列

2、等比数列通项公式：，也可以为：

3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项

（1）若为的等比中项，则有

（2）若为等比数列，则，均为的等比中项

（3）若为等比数列，则有

4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为

当时，则为常数列，所以

当时，则

可变形为：，设，可得：

5、由等比数列生成的新等比数列

（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列

（2）已知等比数列，则有

① 数列（为常数）为等比数列

② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列

③ 数列为等比数列

④ 数列为等比数列

6、相邻项和的比值与公比相关：

设，则有：

特别的：若

，则成等比数列

7、等比数列的判定：（假设不是常数列）

（1）定义法（递推公式）：

（2）通项公式：（指数类函数）

（3）前项和公式：

注：若，则是从第二项开始成等比关系

（4）等比中项：对于，均有

8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系

，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有

例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________

思路：因为，代入条件可得：，因为，所以，

所以

答案：

例2：已知为等比数列，且，则（      ）

A.                B.               C.                D.

思路一：由可求出公比：，可得，所以

思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以

答案：D

小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（     ）

A.                 B.             C.             D.

思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即

答案：A

例4：设等比数列的前项和记为，若，则（     ）

A.                  B.              C.            D.

思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值

解：

，解得：

所以

答案：A

例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（     ）

A.               B.             C.             D.

思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为

答案：C

例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（     ）

A.          B.        C.        D.

思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可

解：

      ，设，所以

答案：A

例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（      ）

A. 充要条件                                B. 必要不充分条件      

C. 充分不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件

思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件

答案：D

例8：在等比数列中，若，则（   ）

A.                B.              C.                D.

解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则

所以

答案：B

例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（      ）

A.              B.          C.           D.

思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值

解：成等差数列

  将代入等式可得：

，而为正项数列，所以不符题意，舍去

答案：C

例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________

思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由 的指数幂特点可得： ，所以只需，从而解出的最大值

解：设的公比为，则有

解得：（舍）或

所以所解不等式为：

可解得：

     的最大值为

答案：

三、历年好题精选（等差等比数列综合）

1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（     ）

A.                  B.               C.                D. 

2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（    ）

A.                 B.               C.                D. 

3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：①  ②  ③，必成等比数列的个数为（      ）

A.0                 B.1                 C.2                D.3

4、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（     ）

A.                  B.                 C.              D.

5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（     ）

A.                B.                C.                D.  

6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（     ）

A. 若，则             B. 若，则

C. 若，则             D. 若，则

7、（2015，广东）在等差数列中，若，则______

8、（2014，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大

9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（   ）

A.                   B.                C.              D. 

10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（    ）

A.   B.    C.    D.

11、（2014，广东）若等比数列各项均为正数，且，则

12、（2014，安徽）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_______

13、（2014，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，，其中为常数

（1）证明：

（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由

14、（2016，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（     ）

A.                 B.               C.              D. 

15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（    ）

A.                  B.                   C.                  D. 

16、（2014，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列

（1）求数列的通项公式

（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由

习题答案：

1、答案：C

解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以

，等号成立当且仅当

2、答案：C

解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与垂直，所以；② 直线为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：，代入可得：，所以，

3、答案：B

解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设的公比为，可得①中若公比，则无法构成等比数列，同理③中若，则无法构成等比数列；对于②可知均能构成公比为的等比数列

4、答案：D

解析：，可得在中，且最大。所以可知，从而最大

5、答案：A

解析：设公差为，因为成等比数列

解得：

，令

6、答案：C

解析：A选项：反例为公差小于0，且的数列，例如：，所以A错误

B选项：同A中的例子即可判定B错误

C选项：由可知，且，则，再将统一用表示，即，所以C正确

D选项：由等差数列可得：，所以D错误

综上所述：C选项正确

7、答案：10

解析：，可得，所以

8、答案：8

解析：由可得：，由可得，从而，由此可知数列前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以前8项和最大

9、答案：D

解析：由韦达定理可知，且由可知，因为可构成等比数列，所以必为等比中项，，即，所以构成等差数列，同样由判断出则等差中项只能是或，所以有或，解得或，则，所以

10、解析：成等比数列

综上所述：

11、答案：50

解析：由可得，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，从而有：

12、答案：1

解析：方法一：设的公差为，由成等比数列可得：

方法二：由等比数列性质可知：，由合比性质可得：

13、解析：（1）

，即

（2）由题设可得：  

  由（1）可得：

若为等差数列，则

解得：

下面验证是否能让为等差数列

由（1）可得：是首项为1，公差为4的等差数列

是首项为，公差为4的等差数列

且

为公差是2的等差数列

14、答案：D

解析：

15、答案：D

解析：，所以，所以可得在中，最大，在中，是最小的正数。所以最大

16、解析：（1）设的公差为

成等比数列   

或

当时，可得

当时，

或

（2）当时，，故不存在符合条件的

当时，

令

解得或（舍）

，即的最小值为

综上所述：当时，不存在符合条件的；当时，的最小值为