【解析版】2022年郴州市湘南中学九年级上期中数学试卷

2022学年湖南省郴州市湘南中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题．（每题3分，共30分）

1．下列命题中，是真命题的为（　　）

　 A． 锐角三角形都相似 B． 直角三角形都相似

　 C． 等腰三角形都相似 D． 等边三角形都相似

2．一元二次方程2x2﹣x=1的常数项为（　　）

　 A． ﹣1 B． 1 C． 0 D． ±1

3．在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数的图象大致是（　　）

　 A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，反比例函数（k＜0）图象的两支分别在（　　）

　 A． 第一、三象限 B． 第二、四象限 C． 第一、二象限 D． 第三、四象限

5．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（　　）

　 A． b2﹣4ac=0 B． b2﹣4ac＞0 C． b2﹣4ac＜0 D． b2﹣4ac≥0

6．方程x2﹣5x﹣6=0的两根为（　　）

　 A． 6和﹣1 B． ﹣6和1 C． ﹣2和﹣3 D． 2和3

7．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（　　）

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 6

8．解方程2（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的最适当的方法是（　　）

　 A． 直接开平方法 B． 配方法 C． 公式法 D． 分解因式法

9．已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（　　）

　 A． 该方程有两个相等的实数根

　 B． 该方程有两个不相等的实数根

　 C． 该方程无实数根

　 D． 该方程根的情况不确定

10．若x1，x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（　　）

　 A． 8 B． 4 C． 2 D． 0

二、填空题（每题3分，共30分）

11．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为　　　　　　．

12．若点（﹣2，1）在反比例函数的图象上，则该函数的图象位于第　　　　　　象限．

13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=　　　　　　．

14．根据反比例函数y=﹣的图象（请画图）回答问题：当函数值为正时，x的取值范围是　　　　　　．

15．如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为　　　　　　．

16．某种商品原价是121元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为　　　　　　．

17．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C，AB=6，AD=4，AC=5，则AE=　　　　　　．

18．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d=　　　　　　cm．

19．在△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最短边长为45cm，则△A′B′C′的周长为　　　　　　．

三、解答题（共70分）

21．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．

22．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．

23．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线．DE∥BC，若AE=3，AD=4，AC=5，求DE的长．

24．已知图中的曲线函数（m为常数）图象的一支．

（1）求常数m的取值范围；

（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式．

25．已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点M（a，1），MN⊥x轴于点N（如图），若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式．

26．如图，一块正方形铁皮，在它的四个角各截去边长为5cm的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积为2000cm3，求原铁皮的边长．

27．近年来，全国房价不断上涨，郴州市2014年4月份的房价平均每平方米为4900元，比2012年同期的房价平均每平方米上涨了1300元，求这两年郴州市房价的平均增长率．（%前面的数精确到0.1）

28．（10分）（2014秋•郴州校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长．

29．（10分）（2013•安顺）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4．

（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．

2022学年湖南省郴州市湘南中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题．（每题3分，共30分）

1．下列命题中，是真命题的为（　　）

　 A． 锐角三角形都相似 B． 直角三角形都相似

　 C． 等腰三角形都相似 D． 等边三角形都相似

考点： 相似三角形的判定． 

专题： 常规题型．

分析： 可根据相似三角形的判定方法进行解答．

解答： 解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A选项错误；

B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B选项错误；

C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C选项错误；

D、所有的等边三角形三个内角都对应相等（都是60°），所以它们都相似，故D选项正确；

故选：D．

点评： 此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：

①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．

2．一元二次方程2x2﹣x=1的常数项为（　　）

　 A． ﹣1 B． 1 C． 0 D． ±1

考点： 一元二次方程的一般形式． 

分析： 先将一元二次方程化成一般形式，得到2x2﹣x﹣1=0，再根据一元二次方程的定义，即可求得常数项．

解答： 解：把方程2x2﹣x=1转化为一般形式为2x2﹣x﹣1=0，常数项为﹣1．

故选A．

点评： 此题考查了一元二次方程的有关概念．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3．在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数的图象大致是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象． 

专题： 压轴题．

分析： 根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可．

解答： 解：∵正比例函数y=x中，k=1＞0，

∴此图象过一、三象限；

∵反比例函数中，k=2＞0，

∴此函数图象在一、三象限．

故选：B．

点评： 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

4．在平面直角坐标系中，反比例函数（k＜0）图象的两支分别在（　　）

　 A． 第一、三象限 B． 第二、四象限 C． 第一、二象限 D． 第三、四象限

考点： 反比例函数的性质． 

分析： 根据反比例函数的性质作答．

解答： 解：∵反比例函数（k＜0），

∴图象的两支分别在第二、四象限．

故选B．

点评： 反比例函数（k≠0）的图象是双曲线．

（1）k＞0时，图象是位于一、三象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而减小．

（2）k＜0时，图象是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．

5．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（　　）

　 A． b2﹣4ac=0 B． b2﹣4ac＞0 C． b2﹣4ac＜0 D． b2﹣4ac≥0

考点： 根的判别式． 

分析： 已知一元二次方程的根的情况，就可知根的判别式△=b2﹣4ac值的符号．

解答： 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac＞0．

故选：B．

点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．方程x2﹣5x﹣6=0的两根为（　　）

　 A． 6和﹣1 B． ﹣6和1 C． ﹣2和﹣3 D． 2和3

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 

分析： 用方程左边的式子可以分解因式，利用因式分解法求解．

解答： 解：x2﹣5x﹣6=0

（x﹣6）（x+1）=0

解得x=6或﹣1．

故选A

点评： 本题主要考查了运用二次三项式的因式分解法解一元二次方程的能力．

7．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（　　）

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 6

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转． 

分析： 由旋转可得点D的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），那么k等于点C的横纵坐标的积．

解答： 解：易得OB=1，AB=2，

∴AD=2，

∴点D的坐标为（3，2），

∴点C的坐标为（3，1），

∴k=3×1=3．

故选：B．

点评： 解决本题的关键是利用旋转的性质得到在反比例函数上的点C的坐标．

8．解方程2（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的最适当的方法是（　　）

　 A． 直接开平方法 B． 配方法 C． 公式法 D． 分解因式法

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 

专题： 计算题．

分析： 本题要选择适合的方法解方程，通过观察可知方程的左右两边都含有（5x﹣1），可将方程化简为[2（5x﹣1）﹣3]（5x﹣1）=0即5（2x﹣1）（5x﹣1）=0，因此根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”即可解出此题．因此用因式分解法解题最合适．

解答： 解：方程可化为[2（5x﹣1）﹣3]（5x﹣1）=0，

即5（2x﹣1）（5x﹣1）=0，

根据分析可知分解因式法最为合适．

故选D．

点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

9．已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确的是（　　）

　 A． 该方程有两个相等的实数根

　 B． 该方程有两个不相等的实数根

　 C． 该方程无实数根

　 D． 该方程根的情况不确定

考点： 根的判别式． 

分析： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

解答： 解：∵a=1，b=1，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，

∴方程有两个不相等实数根．

故选：B．

点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

10．若x1，x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（　　）

　 A． 8 B． 4 C． 2 D． 0

考点： 根与系数的关系． 

分析： 由于原方程的一次项系数为0，由根与系数的关系知两根的和为0．

解答： 解：原方程可化为：x2﹣4=0；

∴x1+x2=﹣=0；故选D．

点评： 此题主要考查的是根与系数的关系．是需要熟记的内容．

二、填空题（每题3分，共30分）

11．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为　2：3　．

考点： 相似三角形的性质． 

分析： 由于相似三角形的对应中线和周长的比都等于相似比，由此可求出两三角形的周长比．

解答： 解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2：3，

∴它们的相似比为2：3；

故△ABC与△DEF的周长比为2：3．

点评： 此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比．

12．若点（﹣2，1）在反比例函数的图象上，则该函数的图象位于第　二、四　象限．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 

分析： 先根据函数的解析式确定k=xy=﹣2，再根据函数图象与系数的特点进行解答．

解答： 解：∵点（﹣2，1）在反比例函数的图象上，

∴k=（﹣2）×1=﹣2＜0，

∴该函数的图象位于第二、四象限．

点评： 反比例函数图象上点的坐标特征：

当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；

当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．

13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=　9　．

考点： 平行线分线段成比例． 

分析： 根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．

解答： 解：∵DE∥BC，

∴，

∵AD=2，AE=3，BD=4，

∴，

∴CE=6，

∴AC=AE+EC=3+6=9．

故答案为：9．

点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出是解决问题的关键．

14．根据反比例函数y=﹣的图象（请画图）回答问题：当函数值为正时，x的取值范围是　x＜0　．

考点： 反比例函数的图象． 

专题： 数形结合．

分析： 此题只需找到x轴上方的图象所对应的自变量的取值即可．

解答： 解：由函数图象易得在x轴上方的函数图象所对应的值为：x＜0．

故答案为：x＜0．

点评： 本题考查了反比例函数的图象，用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象在二四象限，第二象限的点的纵坐标大于0．

15．如图，反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为　（﹣1，﹣2）答案不唯一　．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 

专题： 压轴题；开放型．

分析： 根据“第一象限内的图象经过点A（1，2）”先求出函数解析式，给x一个值负数，求出y值即可得到坐标．

解答： 解：∵图象经过点A（1，2），

∴=2，

解得k=2，

∴函数解析式为y=，

当x=﹣1时，y==﹣2，

∴P点坐标为（﹣1，﹣2）（答案不唯一）．

点评： 本题是开放型题目，答案不唯一，只要符合题意即可，点在第三象限，横坐标与纵坐标均为负数．

16．某种商品原价是121元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为　121（1﹣x）2=100　．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 

专题： 增长率问题．

分析： 等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．

解答： 解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为121×（1﹣x），第二次降价后的价格为121×（1﹣x）×（1﹣x），

由题意，可列方程为121（1﹣x）2=100．

故答案为121（1﹣x）2=100．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．

17．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C，AB=6，AD=4，AC=5，则AE=　　．

考点： 相似三角形的判定与性质． 

分析： 由在△AED和△ACB中，∠A=∠A，∠AED=∠C，即可证得△AED∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长．

解答： 解：在△AED和△ACB中，

∵∠A=∠A，∠AED=∠C，

∴△AED∽△ACB．

∴，

∴，

∴AE=．

故答案为：．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意△AED与△ACB相似的判定是关键．

18．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d=　4　cm．

考点： 比例线段． 

分析： 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．

解答： 解；已知a，b，c，d是成比例线段，

根据比例线段的定义得：ad=cb，

代入a=3，b=2，c=6，

解得：d=4，

则d=4cm．

故答案为：4

点评： 本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．

19．在△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最短边长为45cm，则△A′B′C′的周长为　195cm　．

考点： 相似三角形的性质． 

分析： 利用最短边可求得两三角形的相似比，且可求得△ABC的周长，再根据周长比等于相似比可求得△A′B′C′的周长．

解答： 解：

∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最短边为15cm，△A′B′C′的最短边长为45cm，

∴相似比为=，

∴=，

又△ABC的周长为15+20+30=65（cm），

∴=，

解得C△A′B′C′=195cm，

故答案为：195cm．

点评： 本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

三、解答题（共70分）

21．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 

专题： 计算题．

分析： 方程整理后，利用因式分解法求出解即可．

解答： 解：方程整理得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0，

分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）=0，

可得x﹣5=0或x﹣7=0，

解得：x1=5，x2=7．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

22．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．

考点： 根的判别式． 

专题： 计算题．

分析： 若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围后，再求非负整数值．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，

∴△=42﹣4×1×2k=16﹣8k≥0，

解得k≤2．

∴k的非负整数值为0，1，2．

点评： 本题考查了实数的运算，一元二次方程根的情况与待定系数的关系的问题．

23．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线．DE∥BC，若AE=3，AD=4，AC=5，求DE的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质． 

专题： 计算题．

分析： 先根据平行线的性质及角平分线的性质求出△BDE是等腰三角形，即BD=DE，再根据△ADE∽△ABC即可求出BD的长，进而求出DE的长．

解答： 解：∵BE是△ABC中∠ABC的平分线，DE∥BC，

∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，

∴BD=DE，

∵DE∥BC，AE=3，AD=4，AC=5，

∴△ADE∽△ABC，=，

即=，=，解得BD=．

∴DE=BD=．

点评： 本题难度一般，考查的是平行线的性质及相似三角形的性质．

24．已知图中的曲线函数（m为常数）图象的一支．

（1）求常数m的取值范围；

（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 

专题： 计算题；压轴题；待定系数法．

分析： （1）曲线函数（m为常数）图象的一支．在第一象限，则比例系数m﹣5一定大于0，即可求得m的范围；

（2）把A的坐标代入正比例函数解析式，即可求得A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式．

解答： 解：（1）根据题意得：m﹣5＞0，解得：m＞5；

（2）根据题意得：n=4，把（2，4）代入函数，得到：4=；

解得：m﹣5=8．

则反比例函数的解析式是y=．

点评： 本题考查了反比例函数的性质及与一次函数的交点问题，综合性较强，同学们要熟练掌握．

25．已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点M（a，1），MN⊥x轴于点N（如图），若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式．

考点： 反比例函数综合题． 

专题： 计算题；待定系数法．

分析： 此题只要求出M点的坐标，就解决问题了，根据M点在正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象上，把M点坐标用a表示出来，又根据△OMN的面积等于2，求出a值，从而求出M点坐标．

解答： 解：∵MN⊥x轴，点M（a，1），

∴S△OMN==2，

∴a=4，

∴M（4，1），

∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点M（4，1），

∴，

解得，

∴正比例函数的解析式是，反比例函数的解析式是．

点评： 此题考查正比例函数和反比例函数的性质，用待定系数法求函数解析式，还考查了面积公式．

26．如图，一块正方形铁皮，在它的四个角各截去边长为5cm的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积为2000cm3，求原铁皮的边长．

考点： 一元二次方程的应用． 

分析： 先设原正方形铁皮的边长为x，然后根据题意列出方程5（x﹣10）2=2000，再解方程即可求解．

解答： 解：设原正方形铁皮的边长为xcm

则由题意可得5（x﹣10）2=2000   

解得x1=30，x2=﹣10（不合题意，舍去）．

答：原正方形铁皮的边长为30cm．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

27．近年来，全国房价不断上涨，郴州市2014年4月份的房价平均每平方米为4900元，比2012年同期的房价平均每平方米上涨了1300元，求这两年郴州市房价的平均增长率．（%前面的数精确到0.1）

考点： 一元二次方程的应用． 

专题： 增长率问题．

分析： 设这两年郴州市房价的平均增长率为x，那么2013年4月份的房价平均每平方米为（4900﹣1300）（1+x）元，2014年4月份的房价平均每平方米为（4900﹣1300）（1+x）（1+x）元，然后根据2014年4月份的房价平均每平方米为4900元即可列出方程．

解答： 解：∵2014年4月份的房价平均每平方米为4900元，比2012年同期的房价平均每平方米上涨了1300元，

∴2012年同期的房价平均每平方米3600元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为：

3600（1+x）2=4900，

解得 x1=≈0.167，x2=﹣（不合题意舍去），

答：这两年郴州市房价的平均增长率约为16.7%．

点评： 本题主要考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次涨价后房价的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可．

28．（10分）（2014秋•郴州校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；直角梯形． 

分析： （1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．

解答： 解：（1）∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠DCA，

又∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∴∠D=∠ACB=90°，

∴△ACD∽△BAC；

（2）Rt△ABC中，AC==8cm，

∵△ACD∽△BAC，

∴=，

即=，

解得：DC=6.4cm．

点评： 此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

29．（10分）（2013•安顺）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4．

（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．

考点： 反比例函数综合题． 

专题： 计算题；待定系数法．

分析： （1）先由A（﹣2，0），得OA=2，点B（2，n），S△AOB=4，得OA•n=4，n=4，则点B的坐标是（2，4），把点B（2，4）代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=；再把A（﹣2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为y=kx+b可得直线AB的解析式为y=x+2．

（2）把x=0代入直线AB的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S△OCB=OC×2=×2×2=2．

解答： 解：（1）由A（﹣2，0），得OA=2；

∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB=4，

∴OA•n=4；

∴n=4；

∴点B的坐标是（2，4）；

设该反比例函数的解析式为y=（a≠0），

将点B的坐标代入，得4=，

∴a=8；

∴反比例函数的解析式为：y=；

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

将点A，B的坐标分别代入，得，

解得；

∴直线AB的解析式为y=x+2；

（2）在y=x+2中，令x=0，得y=2．

∴点C的坐标是（0，2），

∴OC=2；

∴S△OCB=OC×2=×2×2=2．

点评： 本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．