高考数学一轮复习考点规范练49椭圆含解析新人教A版理

考点规范练49　椭圆

基础巩固

1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)

A=1 B=1

C=1 D=1

答案:A

解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.

又椭圆的焦点在x轴上,

∴椭圆方程为=1.

2.已知椭圆=1的离心率为,则k的值为(　　)

A.- B.21 

C.-或21 D或21

答案:C

解析:若a2=9,b2=4+k,则c=,

由,即,得k=-;

若a2=4+k,b2=9,则c=,

由,即,

解得k=21.

3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足(　　)

A.a2>b2 B C.0<a<b D.0<b<a

答案:C

解析:由ax2+by2=1,得=1,因为焦点在x轴上,所以>0,所以0<a<b.

4.已知点P(x1,y1)是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是(　　)

A B.12 

C.16(2+) D.16(2-)

答案:B

解析:∵椭圆方程为=1,

∴a=5,b=4,c==3,

因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).

根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=23×4=12,故选B.

5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(　　)

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

答案:B

解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,

所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.

6.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,

∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.

设点P(x,y),由PF1⊥PF2,

得(x-c,y)·(x+c,y)=0,

化简得x2+y2=c2,

联立方程组

整理,得x2=(2c2-a2)0,

解得e,又0<e<1,

e<1.故选B.

7.设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　　. 

答案:(3,)

解析:∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.

由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.

∵|MF1|+|MF2|=2a=12,

∴|MF2|=4.

设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),

则|F1F2|×y0=4y0.

又4=4,

∴4y0=4,解得y0=

又点M在椭圆C上,=1,

解得x0=3或x0=-3(舍去).

∴点M的坐标为(3,).

8.(2020全国Ⅰ,理20)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

答案:(1)解由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).

则=(a,1),=(a,-1).

由=8得a2-1=8,即a=3.

所以椭圆E的方程为+y2=1.

(2)证明设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).

若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.

由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).

直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3).

可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

由于=1,故=-,

可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),

即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.①

将x=my+n代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

所以y1+y2=-,y1y2=.

代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2·(m2+9)=0.

解得n=-3(舍去),n=.

故直线CD的方程为x=my+,

即直线CD过定点.

若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点.

综上,直线CD过定点.

9.已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.

(1)求椭圆M的方程;

(2)若k=1,求|AB|的最大值;

(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k.

解:(1)由题意得

解得a=,b=1.

所以椭圆M的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

由

得4x2+6mx+3m2-3=0,

所以x1+x2=-,x1x2=

所以|AB|=

=

=

=

当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得+3=3,+3=3.

直线PA的方程为y=(x+2).

由

得[(x1+2)2+3]x2+12x+12-3(x1+2)2=0.

设C(xC,yC),

所以xC+x1=

所以xC=-x1=

所以yC=(xC+2)=

设D(xD,yD),同理得xD=,yD=

记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,

则kCQ-kDQ==4(y1-y2-x1+x2).

因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.

故y1-y2=x1-x2.

所以直线l的斜率k==1.

能力提升

10.已知P是椭圆=1(0<b<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若||=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为(　　)

A.6 B.4 C.2 D

答案:C

解析:设椭圆右焦点为F2,取PF1的中点M,连接OM,=2,则|OM|=4,在△F1PF2中,OM是中位线.

故PF2的长等于8,|PF1|+|PF2|=2a=10,

解得|PF1|=2,故选C.

11.椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足的点P,则椭圆的离心率的范围是　　　　　. 

答案:

解析:∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足的点P,

∴||·||cos<>=,

4c2=-2||·||cos<>,

||+||=2a,

可得+2||·||=4a2,

∴4c2=4a2-2||·||-b2.

∴2||·||=3a2-3c2≤2,

当且仅当||=||时,等号成立.

可得,解得e

又0<e<1,∴e

12.(2020全国Ⅲ,理20)已知椭圆C:=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

解:(1)由题设可得,得m2=,所以C的方程为=1.

(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.

由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),

所以|BP|=yP,|BQ|=.

因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.

由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).

|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故△AP1Q1的面积为.

|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故△AP2Q2的面积为.

综上,△APQ的面积为.

高考预测

13.椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.

解:(1)由题意可得|PF2|==3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,

故椭圆E的方程为=1.

(2)易知点P的坐标为(2,3).

因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.

设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线PA的方程为y-3=k(x-2),

由

可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,

所以x1+2=,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),

可得x2+2=,

所以x1+x2=,x1-x2=,kAB=,

所以满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.