2021-2022学年河南省驻马店市上蔡六中七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省驻马店市上蔡六中七年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列变形正确的是(    )

A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么

2. 下列方程中，是一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一元一次方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列变形正确的是(    )

A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得

5. 解方程时，去分母正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. “和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的算法统宗书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若关于的方程有无数解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 以上答案都不对

8. 若方程组的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

9. 已知方程组和的解相同，则、的值分别为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 关于， 的方程组 其中，是常数的解为，则方程组 的解为(    )

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 编写一个二元一次方程组，它的解为，则此方程组为______ ．
12. 已知、满足关系式，用含的代数式表示，则______．
13. 已知方程组的解能使等式成立，那么代数式______．
14. 一家商店将某种服装按照成本价提高后标价，又以折优惠卖出，结果每件服装仍获利元，求这种服装每件的成本是多少元？设这种服装每件的成本是元，则根据题意可列方程为______．
15. 如图，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则小长方形的面积为______．

三．解答题（本题共8小题，共75分）

16. 解下列方程：
    ；
    ．
17. 用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，

任务一：填空：
以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是______；
第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
请直接写出该方程的正确解：______；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．

18. 解方程组：用代入消元法．
19. 解方程组．
20. 解方程组         
     ．
21. 如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记做方程组、方程组、方程组、
    
    解方程组，求方程组的解；
    若满足图中规律的方程组的解是，直接写出、的值；
    请依据方程组和它的解的变化的规律，直接写出方程组和它的解．
22. 冬季取暖要确保防火安全．为了满足顾客的需要，某购物广场用元购进，两种新型防火取暖器共个，这两种取暖器的进价、标价如表所示：

，两种新型取暖器分别购进多少个？
若型取暖器按标价的七五折出售，型取暖器每台在标价的基础上降价元出售，这批取暖器全部售完后商场共获利元，请求出表格中的值．

23. 阅读下列材料，然后解答后面的问题．
    我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
    例：由，得，、为正整数
     则有又为正整数，则为正整数．
    为的倍数，从而，代入．
    的正整数解为
    问题：请你写出方程的一组正整数解：
    若为自然数，则满足条件的值有______ 个
    A、      、       、        、
    七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为元的笔记本与单价为元的钢笔两种奖品，共花费元，问有几种购买方案？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果，那么，故该选项变形不正确，不符合题意；
B.如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C.如果，那么，故该选项变形不正确，不符合题意；
D.如果，且，那么，故该选项变形不正确，不符合题意；
故选：．
根据不等式与等式的基本性质进行判断．
本题考查了不等式与等式的性质，熟练不等式与等式的性质是解题的关键．等式的性质：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数或式子，结果仍相等．不等式的性质：不等式的基本性质：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程，故A错误；
B、是二元一次方程，故B错误；
C、是分式方程，故C错误；
D、是一元一次方程，故D正确．
故选：．
只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
直接移项，再两边同时除以即可．
此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：、根据等式性质，两边都减去，即可得到，故本选项错误；
B、根据等式性质，两边都乘以，即可得到，故本选项错误；
C、根据等式性质，两边都加，即可得到，正确；
D、根据等式性质，两边都除以，即可得到，故本选项错误．
故选：．
利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．
本题考查了等式的性质．
等式性质：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质：等式的两边都乘以或者除以同一个数除数不为零，所得结果仍是等式．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以得：，
去括号得：．
故选C．
去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．
在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
 

6.【答案】 

【解析】解：设有小和尚人，则大和尚的人数为人，
由题意得：．
故选：．
设有小和尚人，则大和尚的人数为人，然后根据三个小和尚一个馒头，一个大和尚三个馒头即可列出方程．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
移项合并同类项得：，
该方程有无数解，
，，
解得：，，
当，时，，
故选：．
先移项合并同类项得到，再根据此方程有无数解的情况得出、的值，最后代入即可求解．
本题主要考查的是一元一次方程的解，正确的掌握一元一次方程的解是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质是解题关键．
将，得到关于等式，再把带入即可求得值。
【解答】
解：，得
，
由，得
，
解得，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
代入得：，
解得：．
故选：．
根据题意列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而确定出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组两方程成立的未知数的值．
 

10.【答案】 

【解析】由原方程组的解及两方程组的特点知，、分别相当于原方程组中的、，据此列出新方程组，解之可得．
本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于、的新方程组．
解：由题意知，，
，得：，，
，得：，，
所以方程组的解为，
故选：．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
．
故答案为：．
由与列出两个算式，即可确定出所求方程组．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
系数化得：
故答案为：
要用含的代数式表示，就要将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数．先移项，再将系数化为即可．
此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数当做已知数来处理．
 

13.【答案】 

【解析】解：解方程，
解得：．
将代入，
得：．
．
则


．
故答案是：．
根据题意，先列出新方程组，解出方程组的解，再代入，求出的值，最后代入，的值求出代数式的值．
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是根据方程组解的定义求出未知参数的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这种服装每件的成本价是元，
由题意得：．
故答案为：．
首先设这种服装每件的成本是元，根据题意可得等量关系：进价折进价利润元，根据等量关系列出方程即可．
此题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设小长方形的长为，则宽为，
由图可得：，
解得，
，
小长方形的面积为：，
故答案为：．
先设小长方形的长为，然后根据大长方形的长为，可以用的代数式表示出小长方形的宽，然后再根据大长方形的宽为个小长方形的宽，也等于小长方形的长宽，即可列出相应的方程，然后求解即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

16.【答案】解：原方程可化简为：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
原方程可化简为：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：． 

【解析】方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解；
方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为，求出解．
 

17.【答案】等式的基本性质  乘法分配律  三  移项没有变号   

【解析】解：任务一：
以上解题过程中，第一步的依据等式的基本性质进行变形得；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律；
第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号；
该方程的正确解是；
故答案为：等式的基本性质，乘法分配律；三，移项没有变号；；
任务二：
答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“”号，去掉括号时括号里面各项都要变号等．
任务一：
找出第一步的依据，第二步运用的运算律即可；
找出出错的步骤，分析其原因即可；
求出方程的正确解即可；
任务二：答案不唯一，合理即可．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为．
 

18.【答案】解：，
由得：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
所以原方程组的解是． 

【解析】由得出，把代入得出，求出，再把代入求出即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

19.【答案】解：，
得，
解得，
把代入得，
原方程组的解为 

【解析】利用加减消元法解答即可．
此题比较简单，考查的是求二元一次方程组的加减消元法和代入消元法．
 

20.【答案】解：方程组整理得：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，利用了消元的思想，方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
 

21.【答案】解：，
用得：，
解得．
把代入，
得，
，
所以方程组的解是；
，
把代入得：即．
再把，代入得：或．
答：或，；
方程组是，
方程组的解是． 

【解析】用加减消元法消去项，得出的值，然后再用代入法求出的值；
把的值代入方程可得即的值，再把和的值的代入可得的值；
根据方程组和解的变化规律可得答案．
本题考查用加减消元法解一元二次方程，以及根据方程组及其解的集合找规律并解方程．
 

22.【答案】解：设购进种新型防火取暖器个，则购进种新型防火取暖器个，根据题意得：
，
解得，
购进种新型防火取暖器个，
答：购进种新型防火取暖器个，购进种新型防火取暖器个；
依题意得：，
，
解得：，
答：的值为． 

【解析】设购进种新型防火取暖器个，根据题意得：，即可解得，从而得到答案；
由已知得：，即可解得：．
本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

23.【答案】 

【解析】解：
由，得、为正整数．
所以，即
当时，；
当时，．
即方程的正整数解是或只要写出其中的一组即可

同样，若为自然数，
则有：，即．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
即满足条件的值有个，
故选C．

设购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支．
则根据题意得：，其中、均为自然数．
于是有：，
解得：，
所以．
由于为正整数，则为正整数，可知为的倍数．
当时，；
当时，．
答：有两种购买方案：即购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支；
或购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支．
求方程的正整数解，可给定一个正整数值，计算的值，如果的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解．
参照例题的解题思路进行解答；
设购买单价为元的笔记本本，单价为元的钢笔支．则根据题意得：，其中、均为自然数．解该二元一次方程即可．
本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．