初中数学第3章 实数3.4 实数的运算精品综合训练题

3.4实数的运算浙教版初中数学七年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知是整数，当取最小值时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 估计的运算结果应在(    )

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

4. 已知为实数，规定运算：，，，，，按上述方法计算：当时，的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 有一个数值转换器，其原理如图．如果输入时．输出的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列各组数中，把两数相乘，积为的是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

8. 计算：的值为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 的立方根与的平方根之和为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 已知的整数部分为，的小数部分为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若，则的值所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列说法正确的个数(    )
    无限小数都是无理数；
    带根号的数都是无理数；
    无理数与无理数的和一定是无理数；
    无理数与有理数的和一定是无理数；
    是分数；
    无理数与有理数的积一定是无理数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 用“”定义某种新运算：对于任意两个数和，规定，则______．
14. 对任意两实数、，定义运算“”如下：根据这个规则，则方程的解为______．
15. 根据如图所示的程序，若输入的值为，则输出结果为          ．

16. 若的整数部分是，小数部分是，则____．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 小强同学在学习了本章的内容后设计了如下问题：

定义：把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数．

请你举出一对共轭实数；

与是共轭实数吗？与是共轭实数吗？

共轭实数，是有理数还是无理数？

你发现共轭实数与的和、差有什么规律？

18. 已知表示，，，四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的实数，满足以下关系式：，．
    ______．
    的倒数和绝对值都是本身，求的值．
19. 已知，为实数，且满足，求的值．
20. 探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“”“”或“”，并完成后面的问题．
    
    ________，   ________，________，  ________，
    
    用，，表示上述规律为：___________________．
    利用中的结论，求的值．
    设，，试用含，的式子表示
21. 对于任意实数，，定义一种新的运算公式：，如已知，求的平方根．
22. 计算：；
    解方程：；
    已知，且与互为相反数，求的平方根．
23. 阅读下列材料，并回答问题：

把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数．

请你举出一对共轭实数：            和           ；

和是共轭实数吗？若是请指出、的值；

若两个共轭实数的和是，差的绝对值是，请写出这两个共轭实数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
最接近的整数是，
当取最小值时，的值是，
故选：．
根据绝对值的意义，由与最接近的整数是，可得结论．
本题考查了估算和绝对值的意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算正确；
故选：．
根据进行化简计算即可．
此题主要考查了二次根式和立方根，关键是掌握二次根式的性质．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
先进行二次根式的运算，然后再进行估算．

【解答】
解：，而，
原式运算的结果在到之间；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，

，
，
故选：．
把代入进行计算，找出规律即可解答．
本题考查了实数的运算，规律型：数字变化类，把代入进行计算从数字找规律是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
输出．
故选：．
将输入，则，再输入，则，再输入，从而输出．
本题考查了实数的有关运算，求一个数的算术平方根，是基础知识要熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用两数相乘运算法则求出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式．
 

9.【答案】 

【解析】解：的立方根为，的平方根，
的立方根与的平方根之和为或．
故选：．
求出的立方根与的平方根，相加即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：平方根、立方根的定义，熟练掌握定义是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，．

的整数部分，的小数部分，
．

11.【答案】 

【解析】解法一：用计算器计算，屏幕显示的结果为，

所以．

解法二：因为，

所以，

所以．

12.【答案】 

【解析】解：无限循环小数是有理数，
的说法错误；
带根号且开不尽方的数才是无理数，
的说法错误；
互为相反数的两个数相加等于，
两个互为相反数的无理数相加等于，是有理数，
的说法错误；
无理数与有理数的和一定是无理数，
的说法正确；
是无理数，而分数是有理数，
的说法错误；
乘以任何数都等于，
一个无理数与相乘等于，
的说法错误．
综上，说法正确的有：．
故选：．
利用有理数，无理数的意义对每个小题的说法进行判定即可得出结论．
本题主要考查了实数的运算，有理数与无理数的概念，准确掌握无理数的相关性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，


．
故答案为：．
直接利用新定义将原式变形得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确应用已知公式计算是解题关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：若，则，
解得或舍去；
若，则，
解得或舍去；
综上，或．
故答案为：或．
分和列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的的值即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】略
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
．
故答案为：．
首先确定的范围，即可推出的值，把的值代入求出即可．
考查了估算无理数的大小和实数的运算，解此题的关键是确定的范围．，得出，的值．
 

17.【答案】解：
与答案不唯一．
与的被开方数不相同， 
与不是共轭实数； 
与的被开方数都是，  且，或， 
与是共轭实数；
为正整数且开方开不尽， 
是无理数． 
是有理数， 
是无理数． 
所以有理数加上或减去无理数，  其结果仍是一个无理数，
即共轭实数，都是无理数
，，
它们的和是一个有理数，等于；
它们的差仍是一个无理数，等于． 

【解析】本题主要考查实数的运算和新定义问题．
根据定义写出一对共轭实数即可；
根据定义判断即可；
根据为正整数且开方开不尽，可知是无理数，据此判断共轭实数，都是无理数；
计算与的和、差，然后判断即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：，．
表示“”．
．
故答案为：．
的倒数和绝对值都是本身，
．
．
先判断表示的运算，再计算．
先求，再计算．
本题考查用新定义运算计算，将新运算转化为乘法运算是求解本题的关键．
 

19.【答案】解：，，
．
．
．
又，
，．
，．


． 

【解析】根据算术平方根的非负性，故，由，得，，进而解决此题．
本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，，，， ；




，，



． 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的运算和算术平方根，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
先求出每个式子的值，再比较即可；
根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
先分解质因数，再根据规律得出 ，即可得出答案．
【解答】
解：，，
，
，
，
；
、见答案．  

21.【答案】解：，
．
．
．
的平方根为，
的平方根为． 

【解析】利用新运算公式求得的值，再利用平方根的意义求解即可．
本题主要考查了实数的运算，平方根的意义，本题是新定义型题目，正确理解新定义的公式并熟练运用是解题的关键．
 

22.【答案】解：原式

；
，
．
是的平方根，
．
，，，
，．
，．
与互为相反数，
．
解得：．
．
的平方根为，
的平方根为． 

【解析】利用算术平方根的意义，立方根的意义，二次根式的性质和绝对值的意义解答即可；
利用平方根的意义解答即可；
利用非负数的意义和相反数的意义求得，，的值，再将，，的值代入解答即可．
本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，立方根的意义，二次根式的性质和绝对值的意义，非负数的应用，相反数的意义，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
 

23.【答案】解：；答案不唯一

根据定义可知：和是共轭实数，

，；

设这两个共轭实数为，

由题意，得：，，

，，

，，，

这两个共轭实数为和．

【解析】

【分析】

此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

根据题意写出一对共轭实数即可；

利用新定义判断即可；

设出两个共轭实数，根据题意列式计算即可．

【解答】

解：根据定义可知：和是一对共轭实数．

故答案为；答案不唯一；

见答案；

见答案．