高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质学案

  2.2.1　不等式及其性质

最新课程标准：理解不等式的概念，掌握不等式的性质.

知识点一　实数大小比较

1．文字叙述

如果a－b是正数，那么a>b；

如果a－b等于0，那么a＝b；

如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．

2．符号表示

a－b>0⇔a>b；

a－b＝0⇔a＝b；

a－b<0⇔a<b.

　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．

知识点二　不等式的性质

　(1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b. 性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.

(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．

(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件. 不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．

[基础自测]

1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　　)

A．T<40　 B．T>40

C．T≤40  D．T≥40

解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．

答案：C

2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)

A．M>N  B．M＝N

C．M<N  D．与x有关

解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.

答案：A

3．已知x<a<0，则一定成立的不等式是(　　)

A．x2<a2<0  B．x2>ax>a2

C．x2<ax<0  D．x2>a2>ax

解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.

答案：B

4．不等式组的解集为________．

解析：，∴－<x≤6.

答案：

题型一　比较大小[教材P61例2]

例1　比较x2－x和x－2的大小．

【解析】　因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1>0，从而(x2－x)－(x－2)>0，

因此x2－x>x－2.

　通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

教材反思

用作差法比较两个实数大小的四步曲

跟踪训练1　若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)

A．f(x)<g(x)

B．f(x)＝g(x)

C．f(x)>g(x)

D．随x值变化而变化

解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)

＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，

所以f(x)>g(x)．故选C.

答案：C

→→→

题型二　不等式的性质[经典例题]

例2　对于实数a、b、c，有下列说法：

①若a>b，则ac<bc；

②若ac2>bc2，则a>b；

③若a<b<0，则a2>ab>b2；

④若c>a>b>0，则>；

⑤若a>b，>，则a>0，b<0.

其中正确的个数是(　　)

A．2　　B．3

C．4    D．5

【解析】　对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．

对于②，由ac2>bc2，知c≠0，

∴c2>0⇒a>b.②对．

对于③，由a<b<0，

两边同乘以a得a2>ab，

两边同乘以b得ab>b2，

∴a2>ab>b2.③对．

对于④，⇒0<c－a<c－b

⇒ ⇒>.④对．

对于⑤， ⇒⇒a>0，b<0.⑤对．

故选C.

【答案】　C

→

方法归纳

(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．

(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

跟踪训练2　(1)已知a<b，那么下列式子中，错误的是(　　)

A.4a<4b 

B．－4a<－4b

C．a＋4<b＋4 

D．a－4<b－4

(2)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是(　　)

A．若a>b，c≠0，则ac>bc

B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a>b，则<

解析：(1)根据不等式的性质，a<b,4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．

(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．

答案：(1)B　(2)C

利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．

题型三　利用不等式性质求范围[经典例题]

例3　已知－2<a≤3,1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：

(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.

【解析】　(1)|a|∈[0,3]；(2)－1<a＋b<5；

(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；

(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①

由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②

由①②得，－10<2a－3b≤3.

　运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．

方法归纳

利用不等式性质求范围的一般思路

(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

(3)结合不等式的传递性进行求解．

跟踪训练3　已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，

(1)求xy的取值范围；

(2)求x－2y的取值范围．

解析：(1)∵1<x<2<y<3，∴1<x<2,2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是(2,6)．

(2)由(1)知1<x<2,2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是(－5，－2)．

　(1)根据不等式的性质6可直接求解；

(2)求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y的取值范围．

课时作业 10

一、选择题

1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是(　　)

A．A≤B　　　B．A≥B

C．A<B或A>B  D．A>B

解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B.

答案：B

2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)

A．若a>b，c>b，则a>c  B．若a>－b，则c－a<c＋b

C．若a>b，c<d，则>     D．若a2>b2，则－a<－b

解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．

答案：B

3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)

A．－2<α－β<0  B．－2<α－β<－1

C．－1<α－β<0  D．－1<α－β<1

解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1.

又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，

又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.

答案：A

4．有四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.若<<0，则不正确的不等式的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①不正确；a>b，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.

答案：C

二、填空题

5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．

解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．

答案：<

6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．

解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.

答案：c－2b

7．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.

其中错误的命题是________(填写相应序号)．

解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．

答案：①②③④⑤

三、解答题

8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·，

因为x<1，所以x－1<0，

又因为2＋>0，

所以(x－1)<0，

所以x3－1<2x2－2x.

9．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.

证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，

因为bd>0，所以≤，

所以＋1≤＋1，所以≤.

[尖子生题库]

10．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解析：方法一　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，

则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，

于是得，解得

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

故f(－2)的取值范围是[5,10]．

方法二　由，得，

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

故f(－2)的取值范围是[5,10]．