高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角练习

  课时跟踪检测（十三）  已知三角函数值求角

A级——学考水平达标练

1．点P(cos θ，sin θ)是角α终边上的一点，则α的值等于(　　)

A.－θ  B．θ

C．2kπ＋θ(k∈Z)  D．kπ＋θ(k∈Z)

解析：选D　因为tan α＝tan θ，所以α＝kπ＋θ(k∈Z)．

2．已知cos x＝，π<x<2π，则x等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　∵x∈(π， 2π)且cos x＝，

∴x∈，∴x＝.

3．若tan x＝，且－π<x<2π，则满足条件的x的集合为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　∵tan x＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，

∴x＝kπ＋，k∈Z，

又∵－π<x<2π，∴x＝－，，.

4．若sin x＝，x∈，则x等于(　　)

A．arcsin  B．π－arcsin

C.＋arcsin  D．－arcsin

解析：选B　由sin x＝得锐角x＝arcsin.

∵x∈，∴x＝π－arcsin.

5．(多选题)下列叙述正确的是(　　)

A．arctan y表示一个内的角

B．若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y

C．若tan ＝y，则x＝2arctan y

D．arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1]

解析：选ABD　∵tan ＝y，∴＝kπ＋arctan y，∴x＝2kπ＋2arctan y，故C错．其余根据题意可知都正确．

6．函数y＝arccos(sin x)的值域为________．

解析：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1，

∴0≤arccos(sin x)≤.

答案：

7．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.

解析：由条件可知2cos＝1，即cos＝，∴α＋＝2kπ±(k∈Z)．∵α∈(0,2π)，∴α＝.

答案：

8．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是________．

解析：∵arccos＝，

∴底角为＝.∴tan＝.

答案：

9．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α.

解：∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限的角．

又∵sin ＝－＜0，∴是第三象限角．

又sin ＝－，∴＝2kπ＋(k∈Z)，

∴α＝4kπ＋(k∈Z)．

10．已知sin α＝，根据所给范围求角α.

(1)α为锐角；(2)α∈R.

解：(1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈，

所以α＝arcsin .

(2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α 1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)，

α 2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)，

即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z)．

B级——高考水平高分练

1．若0<x<2π，则满足5sin2x－4＝0的x值有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选D　由方程得sin2x＝，∴sin x＝±，当sin x>0时，x的值有两个，分别在第一、二象限；当sin x<0时，x的值也有两个，分别在第三、四象限．

2．若A为△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则A为(　　)

A．arcsin  B．arcsin

C．π－arcsin   D.＋arccos

解析：选C　因为sin2A＋cos2A＝1，sin A＋cos A＝，所以sin A＝，cos A＝－，故A＝π－arcsin.

3．使得等式2cos＝1成立的x的集合是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：选C　∵2cos＝1，∴cos＝，

∴＝±＋2kπ，k∈Z，∴x＝±＋4kπ，k∈Z.

4．已知函数y＝sin2x＋sin x＋1，当y取最大值时角x为α，当y取最小值时角x为β，其中α，β∈，求sin(β－α)的值．

解：∵y＝2＋，－1≤sin x≤1，∴当sin α＝1时，y max＝；当sin β＝－时，y min＝.

∵α，β∈，∴α＝，cos β＝.

∴sin(β－α)＝sin＝－cos β＝－.

5．已知cos x＝－.

(1)当x∈[0，π]时，求x的值；

(2)当x∈R时，求x的取值集合．

解：(1)∵cos x＝－且x∈[0，π]，∴x＝arccos.

(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．

∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角．

由(1)知x＝arccos是第二象限角，

又cos＝cos

＝－，且2π－arccos∈，

∴由余弦函数的周期性知，当x＝arccos＋2kπ或x＝2π－arccos＋2kπ，k∈Z时，

cos x＝－，即所求x的取值集合是

.

6．已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin(180°－A)＝cos(B－90°)，cos A＝－cos(180°＋B)，求角A，B，C的大小．

解：∵sin(180°－A)＝cos(B－90°)，

∴sin A＝sin B．①

又cos A＝－cos(180°＋B)，

∴cos A＝cos B．②

①2＋②2得cos2A＝，即cos A＝±.

∵A∈(0，π)，∴A＝或.

(1)当A＝时，有cos B＝，又B∈(0，π)，

∴B＝，C＝.

(2)当A＝时，由②得cos B＝＝－<0.

可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．

综上可知，角A，B，C的大小分别为，，.