2023年高考数学一轮复习课时规范练27复数含解析北师大版文

课时规范练27　复数

基础巩固组

1.(2021北京高考)在复平面内,复数z满足(1-i)z=2,则z=(　　)

A.2+i B.2-i C.1-i D.1+i

答案:D

解析:由题意可得z==1+i.

2.设复数z满足z+i=zi(其中i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点所在的象限为(　　)

A.第一象限 B.第二象限 

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:z=i,所以复数z在复平面内对应的点为,-,

所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.

3.(2021西藏拉萨中学高三月考)已知i为虚数单位,复数z=(2+i3)(1-ai)为纯虚数,则|z|=(　　)

A.0 B C.2 D.5

答案:D

解析:z=(2-i)(1-ai)=(2-a)-(2a+1)i,因为z为纯虚数,所以a=2,则z=-5i,|z|=5.

4.(2021四川乐山模拟)设i是虚数单位,a,b∈R,且(2+i)bi=a-4i,则复数a+bi在复平面内所对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:因为2bi-b=a-4i,所以解得

所以a+bi=2-2i,在复平面内所对应的点位于第四象限.

5.(2021四川攀枝花一模)若z为纯虚数,且|z|=1,则=(　　)

Ai Bi

Ci Di

答案:A

解析:z为纯虚数,由|z|=1,知z=±i,

当z=i时,,

同理可得z=-i时,,故选A.

6.(2021山东聊城三模)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为(　　)

A B C.- D.-

答案:D

解析:,若其为实数,

则4a+6=0,即a=-

7.(2021山东临沂一模)如图,若向量对应的复数为z,且|z|=,则=(　　)

Ai B.-i Ci D.-i

答案:D

解析:由题意,设z=-1+bi(b>0),则|z|=,解得b=2,即z=-1+2i,

所以=-i.

8.(2021广西名校高三联考)设复数z满足z=(z-1)i3-3,则下列说法正确的是(　　)

A.z的虚部为2i

B.z为纯虚数

C.|z|=

D.在复平面内,对应的点位于第二象限

答案:C

解析:由z=(z-1)i3-3,得z==-1+2i,z的虚部为2,不是纯虚数,故A,B选项错误.|z|=,故C选项正确=-1-2i,在复平面内对应的点位于第三象限,故D选项错误.

9.(2021湖南长郡十五校联考)已知复数z满足:z2=+6i(i为虚数单位),且z在复平面内对应的点位于第三象限,则复数的虚部为(　　)

A.2i B.3 C Di

答案:C

解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi=+6i,可得

因为a<0,b<0,解得a=-2,b=-,所以z=-2-i,则=-2+i,的虚部为,故选C.

10.(2021四川凉山二模)复数z满足|z+i|=1,且z+=2,则z=　　　　　. 

答案:1-i

解析:设复数z=a+bi(a,b∈R),则z+=a+bi+a-bi=2a=2,解得a=1,

又z+i=a+(b+1)i=1+(b+1)i,且|z+i|=1,

所以=1,解得b=-1,所以z=1-i.

综合提升组

11.(2021湖南衡阳八中高三月考)已知复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则|pi+q|=(　　)

A.25 B.5 C D.41

答案:C

解析:因为复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,

所以(i-2)2+p(i-2)+q=0,所以pi+q=4i+2p-3,

所以p=4,q=2p-3,所以p=4,q=5,则|pi+q|=|4i+5|=

12.(2021山东日照检测)若复数z满足|z-2-3i|=5,则复数z的共轭复数不可能为(　　)

A.5-7i B.-2-6i C.5+2i D.2-8i

答案:C

解析:设复数z的共轭复数为=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,所以由|z-2-3i|=5可得(a-2)2+(b+3)2=25.当a=5,b=2时,显然不满足上式,其他选项检验可知都符合,故选C.

13.(2021山东烟台二模)已知复数z满足|z-1-i|≤1,则|z|的最小值为(　　)

A.1 B-1 C D+1

答案:B

解析:令z=x+yi(x,y∈R),则由题意有(x-1)2+(y-1)2≤1,

∴|z|的最小值即为圆(x-1)2+(y-1)2=1上的动点到原点的最小距离,

∴|z|的最小值为-1.

14.(2021广东珠海高三期末)设i是虚数单位,复数z1=i2 021,复数z2=,则z1+z2在复平面上对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案:A

解析:由复数的运算性质,可得z1=i2021=i4×505+1=i,z2=i,

所以z1+z2=i,可得对应复平面内点的坐标为,在第一象限.

15.(2021广东汕头三模)已知复数z=+i,是z的共轭复数,z0=,z0在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:∵z=+i,-i,∴z0=i,

∴z0在复平面内对应的点为,-,

∴z0在复平面内对应的点位于第四象限.

16.(2021山东潍坊一模)已知复数z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则|z-1|的最大值为(　　)

A.1 B C.2 D.4

答案:C

解析:由题意知:|z-1|=|cosθ-1+isinθ|=,

∴当cosθ=-1时,|z-1|的最大值为2.

创新应用组

17.(2021山东青岛一模)18世纪末期,挪威测量学家韦塞尔首次提出利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.在复平面内,复数z0=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,其对应的点为Z0,Z为曲线|z|=1上的动点,则Z0与Z之间的最小距离为(　　)

A B.1 C D.2

答案:B

解析:由z0=,

因为复数z0=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,所以由a+2=0得a=-2,

所以z0=2i,则Z0(0,2),

由于|z|=1,故设Z(x,y)且x2+y2=1,-1≤y≤1,

所以|ZZ0|=1.

故Z0与Z之间的最小距离为1.