高考数学二轮复习8.2不等式选讲选修4_5课件

这是一份高考数学二轮复习8.2不等式选讲选修4_5课件，共28页。PPT课件主要包含了-2-，-3-，命题热点一，命题热点二，命题热点三，命题热点四，-4-，-5-，-6-，-7-等内容，欢迎下载使用。

绝对值不等式的解法【思考】 如何解绝对值不等式?例1已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
题后反思绝对值不等式的求解方法(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想;③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.
对点训练1设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.
绝对值不等式的参数范围问题【思考】 解决绝对值不等式的参数范围问题的常用方法有哪些?例2已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1),f(x)<0,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).
题后反思1.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)对点训练2(2020全国Ⅱ,文23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
不等式的证明【思考】 不等式证明的常用方法有哪些?例3已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
题后反思常用的证明不等式的方法:(1)比较法,比较法包括作差比较法和作商比较法;(2)综合法,利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质,推导出所要证明的不等式;(3)分析法,证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立;(4)反证法,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,可以考虑用反证法;(5)放缩法,要证明不等式A对点训练3(1)设a≥b>0,证明:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;(2)证明:(3)若a,b,c为正实数,证明:a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.
证明 (1)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)-2b2(a-b)=(a-b)(3a2-2b2).∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>0.∴(a-b)(3a2-2b2)≥0.∴3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
不等式的综合应用【思考】 用什么定理或公式解决多变量代数式的最值问题?例4已知a,b为正实数.
题后反思基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,运用基本不等式时应注意其条件(一正、二定、三相等).
对点训练4已知函数f(x)=x2+|x-2|.(1)解不等式f(x)≤2|x|;(2)若 对任意x∈R恒成立,证明:ac+4bc≤1.
1.(2020全国Ⅰ,文23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.
2.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1;当23.若实数a,b满足ab>0,且a2b=4,a+b≥m恒成立.(1)求m的最大值;(2)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.
4.设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
5.已知函数f(x)=|ax-1|-|2x+a|的图象如图所示.