人教版高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程学案理含解析

坐标系与参数方程

‖知识梳理‖

1．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.

②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.

③极坐标：有序数列(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

2．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

3．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标(x，y)是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

►常用结论

直线、圆、椭圆的参数方程

1．过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．注意t的几何意义．

2．圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．

3．椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)

(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)

(3)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．(　　)

(4)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

二、走进教材

2．(选修4－4P25例3改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上

答案：B

3．(选修4－4P15T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

答案：A

4．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．

答案：3

三、易错自纠

5．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标为________．

解析：将方程ρ＝5cos θ－5sin θ两边同乘ρ，

得ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，

化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋5y＝0.

圆心坐标为，化成极坐标为.

答案：(答案不唯一)

6．在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为(t为参数)，则其普通方程为________．

解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

【例1】　(2019年全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.

(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

[解]　(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.

由已知得，|OP|＝|OA|cos ＝2.

设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．

连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.

经检验，点P在曲线ρcos＝2上．

所以l的极坐标方程为ρcos＝2.

(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，

故θ的取值范围是.

所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.

►名师点津

有关曲线的极坐标方程的求解策略

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．

|跟踪训练|

1．(2019年江苏卷)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.

(1)求A，B两点间的距离；

(2)求点B到直线l的距离．

解：(1)设极点为O，在△OAB中，A，B，

由余弦定理，得

AB＝＝.

(2)因为直线l的方程为ρsin＝3，

所以直线l过点，倾斜角为.

又B，所以点B到直线l的距离为(3－)×sin＝2.

【例2】　(2019届湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B．

(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；

(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|·|PB|的值．

[解]　(1)由曲线C：(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.则t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，

故线段AB的中点的直角坐标为.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝，由已知得，tan α＝2，故|PA|·|PB|＝.

►名师点津

参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在将参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．

|跟踪训练|

2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

【例3】　(2019年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

[解]　(1)因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．

l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.

(2)由(1)可设，C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．

C上的点到l的距离为

＝.

当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.

►名师点津

参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略

(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

|跟踪训练|

3．(2020届贵阳摸底)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P，直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

解：(1)将直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x－y－＝0，

曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以曲线C的直线方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.

(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的方程(x－1)2＋y2＝1得t2－t－＝0，Δ＞0，

设t1，t2分别是点A，B对应的参数，则t1＋t2＝，t1t2＝－，又点P在直线l上，所以|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝.