初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程达标测试

这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程达标测试，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为( )
A. (30−2x)(40−x)=600B. (30−x)(40−x)=600
C. (30−x)(40−2x)=600D. (30−2x)(40−2x)=600
某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为( )
A. 800(1−x)2=968B. 800(1+x)2=968
C. 968(1−x)2=800D. 968(1+x)2=800
如图，是两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是7km，现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后( )
A. 1hB. 0.75hC. 1.2h或0.75hD. 1h或0.75h
甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”.乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”.从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为( )
A. 1.2小时B. 1.6小时C. 1.8小时D. 2小时
如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A. x2+9x−8=0B. x2−9x−8=0
C. x2−9x+8=0D. 2x2−9x+8=0
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，当△PQB的面积是△ABC的面积的三分之一时，经过的时间是 ( )
A. 4 sB. 2 sC. 2 s或4 sD. 3 s或4 s
有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 8人B. 9人C. 10人D. 11人
为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间赛一场)，现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A. 14B. 11C. 10D. 9
某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是( )
A. 35%B. 30%C. 40%D. 50%
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动．点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点P运动到点B停止，点Q运动到点C后停止．经过多长时间，能使△PBQ的面积为15 cm2( )
A. 2 sB. 3 sC. 4 sD. 5 s
某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为( )
A. 10%B. 20%C. 90%D. 110%
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm．
某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ．
如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=30cm，BC= 25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s;同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=30cm，BC= 25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s;同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过________________s后，P，Q两点之间相距25cm．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度．
(本小题8.0分)
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．
(本小题8.0分)
某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列?
(本小题8.0分)
有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
(1)已知a=26，b=15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米;
(2)已知a:b=2:1，x=2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米．
(本小题8.0分)
某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用.设每间客房的定价提高了x元．
(1)填表(不需化简):
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元(纯收入=总收入−总维护费用)?
(本小题8.0分)
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，
则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，
根据题意得：(40−2x)(30−2x)=600．
故选D．

2.【答案】B
【解析】解：依题意得：800(1+x)2=968．
故选：B．
根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据勾股定理列出一元二次方程．
设甲出发后xh，两人之间的距离为5km，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【解答】
解：设甲出发后xh，两人之间的距离为5km，根据勾股定理，得
(7−4x)2+(4x)2=52，
32x2−56x+24=0，
解得：x=1或x=0.75．
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米 ​2得出等式是解题关键．设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米 ​2，列出一元二次方程．
【解答】
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
(18−3x)(6−2x)=60，
化简整理得，x2−9x+8=0．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，设经过x秒，△PQB的面积是△ABC的面积的三分之一，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】
解：设经过x秒，△PQB的面积是△ABC的面积的三分之一，
则AP=xcm，BQ=2xcm，BP=(6−x)cm，
由题意，得
12⋅2x⋅(6−x)=13×12×6×8，
解得：x1=2，x2=4．
答：设经过2秒或4秒，△PQB的面积等于△ABC面积的13．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x(1+x)人，
依题意得：1+x+x(1+x)=100，
整理得：x2+2x−99=0，
解得：x1=9，x2=−11(不合题意，舍去)．
故选：B．
设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x(1+x)人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．设：应该邀请x个球队参加，由题意得： 12x(x−1)=21，即可求解．
【解答】
解：设：应该邀请x个球队参加，
由题意得： 12x(x−1)=21，
解得：x=7或x=−6(舍去)，
应邀请7个球队参赛．
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=144，解方程即可求解．
【解答】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=144，
即(1+x)2=144，
解方程得x1=11，x2=−13(舍去)，
故选：B．

10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程的运用，即平均增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
设这两次平均降价的百分比是x，则两次降价后的价格是(1−x)2，根据第一次降价60%，第二次又降价10%表示出两次降价的价格列出方程求解即可．
【解答】
解：设这两次平均降价的百分比是x，
则1−x2=1−60％×1−10％
解得x1=0.4=40%，x2=1.6(舍去)，
则这两次平均降价的百分比是40%．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】
解：设动点P，Q运动ts后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
12×(8−t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5(当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去)．
动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选B．

12.【答案】A
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，则有：
70(1−x)2=56.7
∴(1−x)2=0.81
∴1−x=±0.9
∴x1=10%，x2=190%(舍)
故选：A．
设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程并求解，结合问题的实际意义，对所得的解进行取舍即可．
本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
2(x+b)=12a+2x=10ab=24，
解得a=10−2x，b=6−x，
代入ab=24中，得：
(10−2x)(6−x)=24，
整理得：x2−11x+18=0，
解得x=2或x=9(舍去)，
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组．
14.【答案】20%
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的应用.设平均每次降价的百分率为x，等量关系为：原价×(1−下降率)2=80，把相关数值代入，列出方程，解之即可．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为x，
第一次降价后的价格为125×(1−x)，
第二次降价后的价格为125×(1−x)×(1−x)=125×(1−x)2，
∴125×(1−x)2=80，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去)，
∴平均每次降价的百分率为20%．

15.【答案】0或10
【解析】略
16.【答案】0或10
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP=2xcm，CQ=(25−x)cm，
由题意得，(2x)2+(25−x)2=252，
解得，x1=10，x2=0，
则0秒或10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：0或10．
17.【答案】解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为(20−3x)米，宽为(8−2x)米的矩形，
依题意得：(20−3x)(8−2x)=56，
整理得：3x2−32x+52=0，
解得：x1=2，x2=263(不合题意，舍去)．
答：人行通道的宽度是2米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为(20−3x)米，宽为(8−2x)米的矩形，根据两块绿地的面积之和为56m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
18.【答案】解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(5−x)，依题意得：
(10x+5−x)[10(5−x)+x]=736，
解这个方程得x1=2，x2=3，
当x=2时，5−x=3，
当x=3时，5−x=2，
∴原来的两位数是23或32．
答：原来的两位数是23或32．
【解析】本题考查理解题意能力，可看出本题是数字问题，数字问题关键是设法，设个位上的数字或十位上的数字，然后根据题目所给的条件列方程求解．
设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(5−x)，根据所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，可列出方程求解．
19.【答案】解：设增加了x行，则增加的列数为x，
根据题意，得：(6+x)(8+x)−6×8=51，
整理，得：x2+14x−51=0，
解得x1=3，x2=−17(舍)，
答：增加了3行3列．
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．设增加了x行，则增加的列数为x，用增加后的总人数−原队伍的总人数=51列出方程求解即可．
20.【答案】解：(1)当a=26，b=15时，四块草坪可合成长为(26−x)米，宽为(15−x)米的矩形，
依题意得：(26−x)(15−x)=312，
整理得：x2−41x+78=0，
解得：x1=2，x2=39(不合题意，舍去)．
答：每条道路的宽x为2米．
(2)四块矩形场地可合成长为(2b−2)米，宽为(b−2)米的矩形，
依题意得：(a−2)(b−2)=312，
即(2b−2)(b−2)=312，
整理得：b2−3b−154=0，
解得：b1=14，b2=−11(不合题意，舍去)，
∴a=2b=2×14=28．
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)当a=26，b=15时，四块草坪可合成长为(26−x)米，宽为(15−x)米的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为312平米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为312平米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其正值即可得出原来矩形场地的宽，再将其代入a=2b中即可求出原来矩形场地的长．
21.【答案】解：(1)60−x10；200+x；(60−x10)×20；
(2)依题意得：(200+x)(60−x10)−(60−x10)×20=14000，
整理，得
x2−420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60−x10=28(间)．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60−x10=50(间)．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300(元)．
答：每间客房的定价应为300元．
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
(1)住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为x10，入住量=60−房间空闲个数，列出代数式；
(2)用每天的房间纯收入=每间房实际定价×入住量−总维护费用，每间房实际定价=200+x，列出方程．
【解答】
解：(1)∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为x10，
∴入住的房间数量=60−x10，房间价格是(200+x)元，总维护费用是(60−x10)×20．
故答案为：60−x10；200+x；(60−x10)×20；
(2)见答案．
22.【答案】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，
依题意，得：(1+x)2=144，
解得：x1=11，x2=−13(不合题意，舍去)．
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．
【解析】设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
60×20
提价后