2023高考一轮重点难点题型考点突破-- 06 导数求切线及公切线归类

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目录
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\l "_Tc17993" 【题型一】 求切线基础型：给切点求切线1
\l "_Tc26924" 【题型二】 求切线基础型：有切线五切点求切点2
\l "_Tc12217" 【题型三】 求切线基础型：无切点求参4
\l "_Tc30563" 【题型四】 无切点多参5
\l "_Tc30563" 【题型五】 “过点”型切线6
\l "_Tc30563" 【题型六】 判断切线条数8
\l "_Tc30563" 【题型七】 多函数（多曲线）的公切线10
\l "_Tc30563" 【题型八】 切线的应用：距离最值13
\l "_Tc30563" 【题型九】 切线的应用：距离公式转化型14
【题型十】 切线的应用：恒成立求参………………………………………………………………………17
\l "_Tc30563" 【题型十一】 切线的应用：零点20
【题型一】 求切线基础型：给切点求切线
【典例分析】
已知函数，则曲线在点处的切线的方程为__________.
【答案】
【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．
【详解】因为，所以，
则所求切线的方程为.故答案为：.
【提分秘籍】
基本规律
以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
【变式演练】
1.曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.
解：由，得，
所以在点处的切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即，
故答案为：，
2.已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________.
【答案】
【分析】将点的坐标代入曲线方程，可求得的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程.
【详解】因为点在曲线上，，可得，所以，，
对函数求导得，
则曲线在点处的切线斜率为，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
3.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为得,由此可求a的值.
解:函数的导数,函数f(x)在x=1处的倾斜角为,
,,故选B.
【题型二】 求切线基础型：有切线无切点求切点
【典例分析】
曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【详解】令，解得，，故点的坐标为，故选C.
【点睛】
本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.
【提分秘籍】
基本规律
以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
【变式演练】
1.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.
【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D
2.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.
【详解】
解：∵，∴，
曲线在点处的切线斜率是，
∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为，
∴所求直线方程为，即．
故选：A.
3.曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.
【答案】
【分析】
由导数的几何意义，求得切点处的切线的斜率，得到，求得，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数，则，
设切点的坐标为，则斜率，
所以，解得，
当时，切点为，此时切线方程为；
当，切点为，不满足题意，
综上可得，切点为.故答案为：.
【题型三】 求切线基础：无切点求参
【典例分析】
已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的取值是（ ）
A．-1B．C．1D．
【答案】B
【分析】求导得到，根据垂直关系得到，解得答案.
【详解】，，直线，，
故，解得.故选：.
【提分秘籍】
基本规律
规律同上，注意待定系数法的应用
【变式演练】
1.若曲线的一条切线是直线，则实数b的值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
先设切点为，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果.
【详解】
设切点为，对函数求导，得到，
又曲线的一条切线是直线，
所以切线斜率为，∴，
因此，即切点为，代入切线，可得.
故答案为：.
2.已知曲线与直线相切，则实数a的值为__________.
【答案】2
【分析】先设出切点坐标，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果.
解：设切点为，
由得，则由题意得，，解得，
故答案为：2
3.已知轴为曲线的切线，则的值为________.
【答案】
【分析】设轴与曲线的切点为，由题意结合导数的几何意义可得，解方程即可得解.
【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.
【题型四】 无切点多参
【典例分析】
若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的导数，设切线为，由切点处的导数值为切线斜率求出，再由切点坐标可把表示为的函数，再利用导数可求得的最小值．
【详解】
的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，
∴，又，∴（），，
当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，
∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.
故答案为：．
【提分秘籍】
基本规律
思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）
【变式演练】
1已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.
【答案】0
【分析】由题意，列方程组可求，即求.
【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.
又②.
联立①②解得：..故答案为：0.
2.若曲线在处的切线方程为，则__________
【答案】
解：将代入，得切点为，①，又，
，②.联立①②解得：，，故.故答案为：.
3.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，将代入得，故选D．
【题型五】 “过点”型切线
【典例分析】
过原点作曲线的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.
【答案】
【分析】设切点坐标为；利用导数求切线方程并求切点坐标．
解：设切点坐标为；；故由题意得，；解得，；故切点坐标为；切线的斜率为；
故切线方程为，整理得．故答案为：；.
【提分秘籍】
基本规律
以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图

【变式演练】
1.过点与曲线相切的直线方程为______________.
【答案】.
【详解】设切点坐标为，由得，切线方程为，
切线过点，，即，，
即所求切线方程为.故答案为：.
2.过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________．
【答案】
【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.
【详解】由（），则，化简得，
则，设切点为，显然不在曲线上，
则，得，则切点坐标为.
故答案为：.
3.已知直线是曲线的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设切点为，求出切线方程，即得，解方程即得a的值.
【详解】设切点为，∴切线方程是，
∴，故答案为：C
【题型六】 判断切线条数
【典例分析】
已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.
【详解】
设在曲线上的切点为，，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，即，
解得，，.
因此，过点可向引切线，有三条.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
1.设点列方程过程同前（求切线过程）
2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断
【变式演练】
1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
【答案】A
【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：
，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.
2.已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l与曲线相切，符合情况的切线l（ ）
A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在
【答案】D
【解析】
试题分析：，依题意，在上有解.当时，在上无解，不符合题意；当时，符合题意，故.易知曲线在处的切线为.假设该直线与相切，设切点为，即有，消去化简得，分别画出的图像，观察可知它们交点横坐标，，这与矛盾，故不存在.
3.已知函数，当时，曲线在点与点处的切线总是平行时，则由点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【解析】
分析：由曲线在点与点处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果.
详解：由，得，
曲线在点与点处的切线总是平行，
关于对称，
即，点，即为，
所以，，设切点为切线的方程为，
将点代入切线方程可得，化为，
设令得或，令得，
在上递增，在上递减，
在处有极大值，在处有极小值，且，
与有三个交点，方程有三个根，
即过的切线有条，故答案为.
【题型七】 多函数（多曲线）的公切线
【典例分析】
直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.
【详解】
设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；
设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，
构造函数,
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：
要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.
故选：C
【提分秘籍】
基本规律
1.两个曲线有公切线，且切点是同一点
2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
【变式演练】
1.函数与有公切线，则实数的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设两个切点A和B，然后求函数的导函数，由的导函数分析求解参数，再由的导函数和公切线分析得出关于的方程组，求解即可得出答案.
【详解】
设公切线与两个函数与图象的切点分别为A和B，由，，可得解得，所以有化简得，令，则恒成立，即得函数在定义域上为增函数，又因，则可解得方程，，则由解得.
故选：A.
2.曲线与曲线有（ ）条公切线.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】设是曲线图像上任意一点，，所以，
所以过点的切线方程为，整理得①.
令，解得，则，所以曲线上过点的切线方程为：
，整理得②.由于切线①②重合，故，
即③.构造函数，则
，，故当时递减、当时递增，
注意到当时，且，
所以当时递减，当时，递增，
而，
根据零点存在性定理可知在区间各存在的一个零点，
也即有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线和曲线有两条公切线.故选：B
3.若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导数，设出切点，求出切线，将其与联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的最小值.
【详解】
解：，设公切线与曲线相切的切点为，
则公共切线为，
即，其与相切，
联立消去得：，
则有解，
即有解，
令，，
则，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，所以实数的最小值为.
故选：A.
【题型八】 切线的应用：距离最值
【典例分析】
点在函数的图像上，若满足到直线的距离为1的点有且仅有1个，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求导，设直线与相切于点，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点，再利用到直线的距离为1，结合图象解得参数即可.
【详解】
函数的导函数为，设直线与相切于点，
则，解得切点为，
由题可知到直线的距离为1，
所以，解得，结合图象可知，.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合
【变式演练】
1.点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】
设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得的值，进而可得结果.
【详解】
设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，
则两平行线间的距离即为的最小值．
设直线y＝x＋b与曲线的切点为，
则由切点还在直线y＝x＋b上可得，
由切线斜率等于切点的导数值可得，
联立解得m＝1，b＝－1，
由平行线间的距离公式可得的最小值为，
故选：A.
2.已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【分析】
根据函数与函数互为反函数，将问题转化为求函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果.
【详解】
因为函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍，即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，
因为，所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率，所以，所以切点为，它到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：B.
3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
试题分析：对y=x2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d．解：（法一）对y=x2求导可得y′=2x，令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切点（，），切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.
【题型九】 切线的应用：距离公式转化型
【典例分析】
若，则的最小值是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
原题等价于函数上的点与函数上的点间的距离最小值的平方，结合两个函数关于对称，将其转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.
【详解】
由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方，
点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称，
所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，
此时，∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为.
故原式的最小值为2.故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.距离公式形式：平方和
2.以此还可以类比斜率公式形式
【变式演练】
1.若，则的最小值是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
原题等价于函数上的点与函数上的点间的距离最小值的平方，结合两个函数关于对称，将其转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.
【详解】
由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方，
点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称，
所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，
此时，
∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为.
故原式的最小值为2.
故选：B.
2.设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.
【答案】10
【分析】
表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点（）是反比例函数在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得，从而得，再利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值
【详解】
解：表示点与点距离的平方，
而点是直线上任一点，
点是反比例函数在第四象限上的点，
当是斜率为的直线与相切的切点时，
点到直线的距离即为的最小值，
由，
，
所以，
当且仅当取等号，
所以函数的最小值为10，
故答案为：10
3.已知，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】
利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.
【详解】
可看成点到点的距离，
而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线，
则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，
平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求，
设切点，，由得，切点为
则到直线距离.
故答案为：
【题型十】 切线的应用：恒成立求参等应用
【典例分析】
已知为实数，则“对任意的实数恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
先根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的值，再数形结合将对任意的实数恒成立转化为，最后判断充要关系即可得解.
【详解】
设直线与曲线相切，且切点为，
则，解得，所以切点为，，
所以切线方程为.
数形结合可知，对任意的实数恒成立等价于.
而由不能得到，故充分性不成立；
反之，由可得到，故必要性成立.故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
.利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”
【变式演练】
1.已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由题意求得，代入函数解析式，把问题转化为恒成立，对分类讨论，分离参数，再由导数求最值得答案．
【详解】
解：因为，所以，又函数的图象在处的切线方程为，
所以，解得，所以，因为恒成立，所以恒成立．
当时，成立．
当时，令，则．
当时，，
在和上单调递减．
当时，，单调递增，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
而，所以．
综上，，所以m的取值范围为．故选：A
2.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.
【答案】
【分析】
利用导数的几何意义分别求解出在点处的切线方程以及在点处的切线方程，根据两切线重合，求解出之间的关系式，由此可化简计算出的值.
【详解】
的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，
的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，
则，即有，可得，则.故答案为:
3.已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用，把问题转化为与在有交点，利用数形结合进行分析，即可求解
【详解】
，所以，，即与在有交点，
分情况讨论：
①直线过点，即，得；②直线与相切，设切点为，得，切点为，故实数a的取值范围是故选：B
【题型十一】 切线的应用：零点等
【典例分析】
已知函数满足，当时，，若在区间内，函数与轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】【解析】试题分析：由题意知，，
∵在区间内，函数与x轴有三个不同的交点，∴函数与在区间内有三个不同的交点，合图象可知，当直线与相切时，，解得：；此时；当直线过点时，；故.
【提分秘籍】
基本规律
对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性
【变式演练】
1.已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则=______.
【答案】函数的图象如下图所示：直线过定点，
当时，，，由图象可知切点坐标为，
切线方程为：，又因为切线过点，则有
，即
2.关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是
A．B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】
由题，先做出图像，然后找到最大根，利用斜率公式可得与的大小关系.
【详解】
由题意作出与在的图象，如图所示：

∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.
∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，
，则，
斜率则
故选C.
3.已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案
【详解】
因为，所以函数的图像关于直线对称.
当时，，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.
当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.
当时，函数，，
设切点为，切线的斜率，
则切线方程为，把点代入得，所以；
当直线过点时，，所以的取值范围为，故选：C.