2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--9.5　椭圆（课件）

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知识梳理1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的　　　　,两焦点间的距离叫做椭圆的　　　　,焦距的一半称为　　　　　　. 
数学表达式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
提示 当2a=|F1F2|时,动点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和简单几何性质
越接近于1,椭圆越扁平; 越接近于0,椭圆越接近于圆
微点拨1.椭圆的焦点F1,F2必在它的长轴上.2.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0微思考焦点弦(过焦点的弦)的弦长最短是多少?
提示焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长为
常用结论1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则(1)b≤|OP|≤a;(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆 =1(a>b>0)中,(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;
(2)S=b2tan =c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　　)(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　)
3.已知椭圆 =1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为　　　　　. 
解析 因为椭圆方程为 =1,所以a=6.因为P是椭圆上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,所以|PF1|+|PF2|=2a=12.又|PF1|=3,所以|PF2|=12-3=9,即点P到另一个焦点的距离为9.
考向1.利用椭圆定义求轨迹方程典例突破例1.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
解析 设动圆的圆心M(x,y),半径为r.因为圆M在圆C1:(x-4)2+y2=169内部且与圆C1内切,与C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r,所以|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由椭圆的定义,点M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,所以a=8,c=4,所以b2=82-42=48,
名师点析通过对题设条件分析、转化后,能明确动点轨迹满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程.
对点训练1如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　)
解析 由题意可得c=5.如图,作右焦点F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',所以∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',所以∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,
考向2.利用椭圆定义解决焦点三角形问题典例突破
由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=14.又3|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=8,|PF2|=6,所以|F1F2|=2c=10.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以
名师点析解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧.
对点训练2已知P是椭圆 =1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　　. 
在△F1PF2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs 60°,即4c2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,可得28=64-3|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=12.由三角形面积公式可得△F1PF2的面积为
考向3.利用椭圆定义求最值典例突破
名师点析已知|PF1|与|PF2|的和为定值,可利用基本不等式求|PF1||PF2|的最值;利用|PF1|+|PF2|=2a变形或转化,借助三角形性质求最值.
对点训练3(2021安徽池州一中模拟)已知椭圆C: =1的左焦点为F,点M在椭圆C上,点N在圆E:(x-2)2+y2=1上,则|MF|+|MN|的最小值为(　　)A.4B.5C.7D.8
解析 由题可知圆心E为椭圆的右焦点,且a=3,b= ,c=2,所以|MF|+|ME|=2a=6,所以|MF|=6-|ME|,所以|MF|+|MN|=6-|ME|+|MN|=6-(|ME|-|MN|).要求|MF|+|MN|的最小值,只需求|ME|-|MN|的最大值,显然M,N,E三点共线时|ME|-|MN|取最大值,且最大值为1,所以|MF|+|MN|的最小值为6-1=5.故选B.
(2)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若该方程表示椭圆方程,则实数k的取值范围是　　　　　. 
名师点析求椭圆方程的方法与步骤
考向1.椭圆的长轴、短轴、焦距典例突破
A.有相等的长轴长B.有相等的短轴长C.有相同的焦点D.有相等的焦距
名师点析求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系.
对点训练5(2021浙江杭州一模)已知点A(3,0),椭圆C: =1(a>0)的右焦点为F,若线段AF的中点恰好在椭圆C上,则椭圆C的长轴长为　　　　　. 
考向2.求椭圆的离心率典例突破
答案 (1)D　(2)C　
解析 (1)设|AF1|=3t,则|AB|=4t,|BF1|=5t,所以|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,所以∠F1AF2=90°.
方法总结求椭圆离心率(或其取值范围)的两种常用方法
答案 (1)C　(2)C　
考向3.与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题典例突破
名师点析与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略