2022届河南省濮阳市第一高级中学高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含解析

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2022届河南省濮阳市第一高级中学高三上学期第一次质量检测数学（理）试题 一、单选题 1．设是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结论. 【详解】，则， 因此，在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 2．若等比数列满足，则（       ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先由等比中项求出，再由对数运算求解即可. 【详解】由题意知，，则. 故选：B. 3．设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知变量具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定的散点图判断正负相关，再由点的集中程度判断大小作答. 【详解】观察散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，接近于1，即， 第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，接近于-1，即， 所以有. 故选：A 5．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得，由，利用基本不等式取等条件可确定当取最小值时，由此可得双曲线离心率. 【详解】由题意得：； （当且仅当时取等号）， 当取最小值时，双曲线的离心率为. 故选：C. 6．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（       ） A．350 B．500 C．550 D．700 【答案】C 【分析】根据分类和分步计数原理即可求得. 【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有， 所选医生中只有一名女主任医师的选法有， 所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有， 故所选医师中有主任医师的选派方法共有种， 故选：C 7．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A．-40 B．-20 C．20 D．40 【答案】D 【分析】【详解】令x=1得a=1.故原式=． 的通项， 由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率. 【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以， 所以， 同理可得当在轴下方时，的值为， 故选：C. 9．已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分离常数，结合导数研究的图象与性质，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，函数恰有3个零点， 由， 即与有个交点. 对于函数， 当时，， 所以在区间递增； 在区间递减. . 当时，， 所以在区间递减； 在区间递增. ，当时，. 所以 所以的取值范围是. 故选：D 10．2022年北京冬奥会开幕式中，当《构建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程． 若第1个图形中的三角形的周长为1，则第10个图形的周长为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用数列表示第n个图形的周长，观察前四个图形，找规律可知，数列是以1为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求出结果. 【详解】用数列表示第n个图形的周长， 第一个图形是三角形，边长为，周长， 第二个图形是边形，边长为，周长， 第三个图形是边形，边长为，周长， 第四个图形是边形，边长为，周长， …，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以， 故选：B. 11．在中，，则的可能取值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于的三角函数，求出范围即可得结果. 【详解】因为， 所以，，即得， 由正弦定理可得， 则的可能取值为， 故选：D. 12．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导后可得，再构造，根据对称轴与1的关系分情况讨论，结合分析即可 【详解】设，则． 令，其图象为开口向上､对称轴为直线的抛物线． ①当，即时，在上单调递增，且， 所以在上恒成立，于是恒成立； ②当，即时，因为且，所以存在，使得时，， 所以在上恒成立，即在上单调递减，所以，不满足题意．综上，实数的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了构造函数分情况分析函数的单调性，从而分析函数的正负的问题，需要根据题意求导，化简后构造分析导函数中需要讨论正负的函数，再结合原函数的零点分析单调性求解，属于难题 二、填空题 13．若，则a的值是______ 【答案】2 【分析】根据题意找出的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出值. 【详解】，， ，. 故答案为：2. 【点睛】本题考查积分的相关计算，属于基础题. 14．随机变量X的分布列如下表所示，则___________． 【答案】 【分析】根据分布列的性质以及离散型随机变量的期望的性质即可解出． 【详解】因为，所以，故， 所以． 故答案为：． 15．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线及锐角三角函数，再利用椭圆的定义，结合椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】由题意知, ，设， 由，得，, ,, 在中，，， 在中，； 根据椭圆的定义，， 所以． 故答案为： 16．在空间直角坐标系中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先通过取得最小值这个条件找出当的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可. 【详解】根据题意，带入可得：，而，，利用基本不等式，当，即取得等号，此时，即，综上可知，当取得最小值时，，带入第二个式子可得，，即，于是，设，，故当时，递增，时，递减，；于是原不等式转化为时，恒成立，即在时恒成立，设，于是，故在时单调递增，，故，即可. 故答案为： 【点睛】本题恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量. 三、解答题 17．已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，即可得到（），两式作差即可得解； （2）依题意可得，利用分组求和及裂项相消法求和即可； 【详解】(1)解：因为，① 当时，．② ①②得，所以． 当时，，也满足上式， 所以． (2)解：因为， 则， 则． 18．国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表： (1)请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关； (2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望及方差. 附表及公式： ，其中. 【答案】(1)列联表答案见解析，在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关 (2)分布列答案见解析，， 【分析】(1)根据题意完善2×2列联表，根据卡方公式计算出，结合临界表即可得出结论； (2)根据题意可知随机变量满足二项分布，求出对应事件的概率，列出随机变量的分布列，结合二项分别的数学期望和方差公式直接计算即可. 【详解】(1)由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生， 40人为女生，据此2×2列联表中的数据补充如下. 所以，又， 所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关. (2)由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为， 故，X可取的值为0，1，2，3， 所以，， ，. X的分布列为： ∴，. 19．如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心． (1)证明：∥平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长交于点P，延长交于O点，连接,证明即可. （2）证明两两垂直，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可. 【详解】(1)延长交于点P，延长交于O点，连接． 因为点M，N分别为和的重心，所以点P， O分别为和的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． (2)当三棱锥的体积最大时，点D到底面的距离最大， 即平面平面， 连接，因为和均为正三角形， 于是，又平面平面， 所以平面，所以两两垂直， 以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又二面角即二面角， 设平面的一个法向量为，则 可得，取，则， 同理设平面的一个法向量为， 则,即，取，则， 所以， 由图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 20．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合，，的关系，解方程可得，，，进而得到椭圆方程； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时设，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由整理可得，即可求出直线过定点坐标； 【详解】(1)解：由题意可得，，即，又 ，解得，，， 则椭圆的方程为； (2)证明：由（1）可得， ①当直线的斜率存在时，设，，， 由，所以， 又，代入整理得， 由消去整理得， 所以，， 所以， 整理得， 当时，直线过，不符合题意， 所以，即， 故直线的方程为，符合题意， 故恒过点； ②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得， 即直线的方程为，必过定点， 综上可得，直线恒过定点； 21．已知函数. (1)当时，试分析函数零点的个数； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上有且只有一个零点 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性和零点存在定理可证； （2）令，则等价于，转化为函数的最小值大于0的问题. 【详解】(1)当时，函数， 由，解得或；由，解得. 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 又，； 所以函数在上有且只有一个零点 (2)令，则等价于 ． 若，则，在区间上恒成立，在区间上单调递增，故，符合条件． 若，则当时，；当时，． 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则不符合条件． 若，则对恒成立，在区间上单调递减，故，不符合条件． 综上所述，的取值范围为. 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)若点，曲线与曲线的交点为A，B两点，求的值． 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式把曲线化成普通方程，根据直角坐标方程与极坐标方程互化公式求出曲线的直角坐标方程即可； （2）根据参数的几何意义进行求解即可. 【详解】(1)由，消去参数得， 所以曲线的普通方程为． 因为， 所以． 所以曲线的直角坐标方程为． (2)由（1）可知曲线的参数方程为（t为参数）， 代入曲线的普通方程，得． 设A，B所对应的参数分别为，，则． 所以． 23．已知. (1)解不等式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可. （2）由题可得，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可. 【详解】(1) 当时，可化为，解得，所以； 当时，可化为，解得，所以； 当时，可化为，解得，所以. 综上，不等式的解集为. (2)关于x的不等式在上恒成立等价于， 又， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以，解得. 故实数m的取值范围为. x1Pa运动时间 性别运动达人非运动达人合计男生36女生26合计1000.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635运动时间性别运动达人非运动达人合计男生362460女生142640合计5050100X0123P