2023届高考数学一轮复习精选用卷第三章函数、导数及其应用考点7 函数的定义域和值域+答案解析

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这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷第三章函数、导数及其应用考点7 函数的定义域和值域+答案解析，共12页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

考点测试7　函数的定义域和值域

高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度
考纲研读
会求一些简单函数的定义域和值域

一、基础小题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．(0，2] B．∪
C．(－2，2) D．[－2，2]
答案　B
解析　要使函数有意义，则得即0 2．函数f(x)＝(x－2)0＋的定义域是(　　)
A． B．
C．R D．∪(2，＋∞)
答案　D
解析　要使函数f(x)有意义，只需
所以x>－且x≠2，所以函数f(x)的定义域是∪(2，＋∞).故选D.
3．函数y＝＋的值域为(　　)
A．[1，] B．[1，2]
C． D．[，2]
答案　D
解析　函数的定义域为{x|－1≤x≤1}，因为y＝＋>0，又y2＝2＋2∈[2，4]，所以y＝＋的值域为[，2].故选D.
4．函数f(x)＝－2x2＋3x(0 A． B．
C． D．
答案　A
解析　f(x)＝－2＋(x∈(0，2])，所以f(x)的最小值是f(2)＝－2，f(x)的最大值是f＝.故选A.
5．已知函数f(x)的定义域为(0，1)，则g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)在0 A．(－c，1＋c) B．(1－c，c)
C．(1＋c，－c) D．(c，1－c)
答案　D
解析　由题意，函数f(x)的定义域为(0，1)，则要使得函数g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)有意义，需满足即因为0 6．函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　　)
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
答案　C
解析　解法一：由函数y＝f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条件：4－|x|≥0，>0，解得－4≤x≤4，x>2，x≠3，即函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，4].故选C.
解法二(特值验证)：易知x＝3时函数无意义，排除B；x＝5时无意义，排除D；若令x＝4，知函数式有意义，排除A.故选C.
7．若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－f(x＋3)的值域是(　　)
A．[－8，－3] B．[－5，－1]
C．[－2，0] D．[1，3]
答案　C
解析　∵1≤f(x)≤3，∴－3≤－f(x＋3)≤－1，∴－2≤1－f(x＋3)≤0，即F(x)的值域为[－2，0].故选C.
8．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由ax2－4ax＋2>0恒成立，得a＝0或故0≤a<.
9．(多选)下列四个函数中，定义域与值域相同的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝2x－1(x>0)
C．y＝x2＋2x－10 D．y＝
答案　AD
解析　对于A，y＝3－x的定义域和值域均为R；对于B，y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－1，＋∞)；对于C，y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)；对于D，y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是A，D.
10．(多选)对于函数y＝f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[ka，kb](k＞0)，则称y＝f(x)为k倍值函数．下列函数中为2倍值函数的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x3＋2x2＋2x
C．f(x)＝x＋ln x D．f(x)＝
答案　ABD
解析　f(x)＝x2＝2x，x∈R，解得x＝0或x＝2，x∈[0，2]时，f(x)∈[0，4]，A满足题意；f(x)＝x3＋2x2＋2x＝2x，解得x＝－2或x＝0，x∈[－2，0]时，f(x)∈[－4，0]，B满足题意；f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)＝2x无解，C不满足题意；f(x)＝＝2x，解得x＝0或x＝ln ，当x∈时，f(x)∈，D满足题意．故选ABD.
11．若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
答案　－
解析　因为函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，所以解得所以a＋b＝－.
12．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为________．
答案　(0，2)
解析　由题意得∴
∴0 二、高考小题
13．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
答案　D
解析　函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B.故选D.
14．(2020·北京高考)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．
答案　(0，＋∞)
解析　由题意得∴x＞0.∴函数的定义域为(0，＋∞).
15．(2019·江苏高考)函数y＝的定义域是________．
答案　[－1，7]
解析　要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，即(x＋1)(x－7)≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1，7].
16．(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．
答案　[2，＋∞)
解析　由题意可得log2x－1≥0，即log2x≥1，∴x≥2.∴函数的定义域为[2，＋∞).
17．(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
答案　－
解析　①当a>1时，f(x)在[－1，0]上单调递增，则无解；
②当0 18．(2015·福建高考)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，2]
解析　当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞).当x>2时，若a∈(0，1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a>1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2.
三、模拟小题
19．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x>1}
C．{x|x≥－1} D．{x|x≥1}
答案　B
解析　要使函数有意义，则有即所以x>1.所以函数的定义域为{x|x>1}．故选B.
20．(2021·湖北荆州中学高三模拟)定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx(x)的定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu(x)＝Jzzx(2018x)＋Jzzx(2021x)的定义域为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由抽象函数的定义域可知，解得≤x≤，所以所求函数的定义域为.故选A.
21．(多选)(2021·湖南省长郡中学高三月考)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(　　)
A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f(x)一定有最小值
C．当a＝0时，f(x)的值域为R
D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
答案　AC
解析　对于A，当a＝0时，解x2－1＞0有x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1图象的对称轴为直线x＝－≤2，解得a≥－4，但当a＝－4时，f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误．故选AC.
22．(多选)(2022·山东省枣庄市第三中学高三月考)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M].例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B，则下列命题中正确的是(　　)
A．设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”
B．函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值
C．若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B
D．若函数f(x)＝a ln (x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B
答案　ACD
解析　对于A，“f(x)∈A”即函数f(x)的值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”表示的是函数可以在R中任意取值，故设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”，故A是真命题；对于B，若函数f(x)∈B，即存在一个正数M，使得函数f(x)的值域包含于区间[－M，M].例如：函数f(x)满足－2＜f(x)＜5，则存在M＝5，使f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－5，5]，但f(x)无最大值，无最小值，故B是假命题；对于C，若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)的值域为R，f(x)∈(－∞，＋∞)，并且存在一个正数M，使得－M≤g(x)≤M，∴f(x)＋g(x)∈R，则f(x)＋g(x)∉B，故C是真命题；对于D，∵函数f(x)＝a ln (x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，∴假设a＞0，当x→＋∞时，→0，ln (x＋2)→＋∞，∴a ln (x＋2)→＋∞，则f(x)→＋∞，与题意不符；假设a＜0，当x＞－2且x→－2时，→－，ln (x＋2)→－∞，∴a ln (x＋2)→＋∞，则f(x)→＋∞，与题意不符．∴a＝0，即函数f(x)＝(x＞－2)，当x＞0时，x＋≥2，∴0＜≤，即0 23．(2022·山西太原模拟)若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　因为有意义，所以x－4≥0，即x≥4.又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.所以其值域为[－1，＋∞).
24．(2021·广东湛江模拟)已知函数f(x)＝则f＝________，函数f(x)的值域是________．
答案　　
解析　因为f＝－＝，所以f＝f＝.当－2≤x≤0时，x2＋x＝－，其值域为；当0

一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2021·天津校级期末)已知函数f(x)＝ .
(1)若f(x)的定义域为，求实数a的值；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
解　(1)f(x)的定义域为，即(1－a2)x2－(1－a)x＋2≥0的解集为，
故
解得a＝2.
(2)f(x)的定义域为R，即(1－a2)x2－(1－a)x＋2≥0恒成立，当1－a2＝0时，a＝±1，经检验a＝1满足条件；
当1－a2≠0时，
解得a∈.
综上，实数a的取值范围为.
2．(2021·内蒙乌兰察布模拟)已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)h(x).
(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
解　(1)∵g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，
∴f(x)＝g(x)h(x)＝(＋1)·＝，
即f(x)＝，x∈[0，a](a>0).
(2)当a＝时，函数f(x)的定义域为，
令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈.
∴f(x)＝F(t)＝＝，
当t∈时，y＝t＋单调递减，
且t＋－2>0，
则F(t)单调递增，∴F(t)∈，
即函数f(x)的值域为.
3．(2022·上海浦东新区校级月考)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意实数x，存在非零常数t，都有f(x＋t)＝－tf(x)成立．
(1)若函数f(x)＝kx＋3，求实数k和t的值；
(2)当t＝2时，若x∈[0，2]，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)在区间[0，6]上的值域.
解　(1)对任意的实数x，存在非零常数t，
都有f(x＋t)＝－tf(x)成立，
函数f(x)＝kx＋3，
那么f(x＋t)＝k(x＋t)＋3，
所以k(x＋t)＋3＝－t(kx＋3)，
即
又t≠0，解得
(2)由题意f(x＋2)＝－2f(x)，
若x∈[0，2]，f(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1∈[0，1]；
当x∈[2，4]时，x－2∈[0，2]，由f(x＋2)＝－2f(x)，
可得f(x)＝－2f(x－2)＝－2[－(x－2－1)2＋1]＝2(x－3)2－2∈[－2，0]；
当x∈[4，6]时，x－2∈[2，4]，由f(x＋2)＝－2f(x)，
可得f(x)＝－2f(x－2)＝－2[2(x－2－3)2－2]＝－4(x－5)2＋4∈[0，4].
作出函数f(x)在区间[0，6]上的图象，
由图象可知f(3)＝－2最小，f(5)＝4最大，
故函数f(x)在区间[0，6]上的值域为[－2，4].

4．(2021·河南信阳罗山县模拟)对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是f(x)的“和谐区间”．
(1)求证：函数g(x)＝3－不存在“和谐区间”；
(2)已知函数h(x)＝(a∈R，a≠0)有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n－m的最大值．
解　(1)证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集.
∵x≠0，
∴[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，
故函数g(x)＝3－在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m，n是方程3－＝x的同号的相异实数根．
∵x2－3x＋5＝0无实数根，
∴函数g(x)＝3－不存在“和谐区间”．
(2)设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，
函数h(x)＝(a∈R，a≠0)在“和谐区间”[m，n]上单调递增，
则故m，n是方程－＝x的同号的相异实数根，即a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的同号的相异实数根，
又nm＝>0，∴只需Δ＝a2(a＋3)(a－1)>0，即a>1或a<－3.
已知函数h(x)有“和谐区间”[m，n]，
则n－m＝
＝，
∴当a＝3时，n－m取得最大值.