突破4.3对数（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破4.3 对数 A组 基础巩固 1．（2021·广东高一单元测试）已知，则的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】A 【分析】 直接由对数与指数的互化公式求解即可 【详解】 解：由，得， 故选：A 2．（2021·全国高一单元测试）（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 根据对数的运算性质可得选项. 【详解】 因为，所以， 故选：D. 3．（2021·全国高一专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形. 【详解】 ， ， ． 故选：B． 4．（2021·全国高一专题练习）若，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】 若， 则. 故选：D 5．（2021·全国高一专题练习）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的（ ） A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍 【答案】C 【分析】 由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，再计算出倍数． 【详解】 由得，所以，，所以，所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍. 故选：C 6．（2021·全国高一课时练习）若lg2＝a，lg3＝b，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题先化简整理得到，再将lg2＝a，lg3＝b代入即可得到答案. 【详解】 解：有题意： ∵lg2＝a，lg3＝b， ∴. 故选：D. 【点睛】 本题考查对数的运算，是基础题. 7．（2022·上海高三专题练习）若，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用对数的换底公式可将用、表示. 【详解】 根据对数的换底公式得， ， 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点. 8．（2020·全国）如果方程的两个根为，那么的值为 A． B． C． D．-6 【答案】C 【分析】 分解因式得或即可求解 【详解】 则 故即或或，则的值为 故选：C 【点睛】 本题考查对数方程的求解，考查计算能力，是基础题 9．（2019·全国高一课时练习）等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据对数的运算公式和运算性质，即可求解，得到答案. 【详解】 由对数的运算性质，可得 ，故选A. 【点睛】 本题主要考查了对数的运算性质的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．（2020·全国高一课时练习）若函数定义域为 ，则的取值范围是 A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可得x2﹣ax+1＞0恒成立，故有 ，由此解得a的范围． 【详解】 由题意可得：要使f（x）的定义域为R，则对任意的实数x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有解得0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范围为（0，1）∪（1，2）． 故选：B. 【点睛】 本题考查了对数函数的定义域和性质的综合应用，也考查了二次函数的性质，属于中档题． 11．（2020·全国）若且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 设，则， ，故选B． 12．（2022·全国高三专题练习）设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【详解】 令，则，， ∴，则， ，则，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示. 13．（多选题）若，，则下列说法不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】 根据对数的真数必须为正数对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】 A选项，若,则，说法正确； B选项，时不满足条件，说法错误； C选项，若，则，不一定，说法错误； D选项，时不满足要求，说法错误； 故选 ：BCD 【点睛】 关键点点睛：掌握对数的真数必须为正数是本题解题关键. 14．（多选题）下列各式正确的有（ ） A．lg(lg 10)=0 B．lg(ln e)=0 C．若10=lg x，则x=10 D．若，则x=±5. 【答案】AB 【分析】 根据，可得A正确；根据，可得B正确；由对数式化指数式可知CD错误； 【详解】 对于A，因为lg(lg 10)=lg 1=0，所以A正确； 对于B，因为lg(ln e)=lg 1=0，所以B正确； 对于C，因为10=lg x，所以x=1010，所以C错误； 对于D，因为，所以.所以D错误. 故选：AB. 【点睛】 本题考查了底数的常用对数和自然对数，考查了1的常用对数和自然对数，考查了对数式化指数式，属于基础题. 15．（多选题）若，且，则下列等式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假． 【详解】 对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确； 对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确； 对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确； 对于D，由换底公式得，，该等式正确． 故选AB． 【点睛】 本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用． 16．（2021·全国高一课前预习）在中，实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】 根据对数的概念与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由题意，要使式子有意义，则满足， 解得或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2021·全国高一课前预习）计算：__________． 【答案】10 【分析】 根据对数的运算性质及对数恒等式计算可得； 【详解】 解： 故答案为： 18．（2021·上海）已知，则___________． 【答案】 【分析】 由，通过对数运算得出，即可求得结果. 【详解】 ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4. 19．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试）=______． 【答案】 【详解】 试题分析：． 考点：对数的运算． 20．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）________. 【答案】4 【分析】 结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】 解：. 故答案为：4. 【点睛】 本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型. 21．（2019·全国高一课时练习）求值：__________. 【答案】16 【分析】 根据对数的换底公式以及运算法则，将各式化成以10为底的对数式，即可求出． 【详解】 原式． 故答案为16． 【点睛】 本题主要考查对数的运算法则和换底公式的应用． 22．（2020·全国高一单元测试）函数的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【详解】 分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 23．（2021·全国高一课时练习）计算（1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质与对数运算性质求解即可； （2）根据对数运算法则求解即可. 【详解】 解：（1） ； （2） . 24．（2021·全国高一课时练习）计算：（1）； （2）. 【答案】（1）2；（2）－. 【分析】 利用对数的运算法则结合对数的性质求解. 【详解】 （1）原式＝ ＝＝2. （2）原式＝ ＝ ＝＝. 【点睛】 本题主要考查对数的运算与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.  B组 能力提升 25．（2020·河北正定中学高三月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ） A．10% B．30% C．60% D．90% 【答案】B 【分析】 根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得； 【详解】 解：当时，，当时，， ∴，∴ 约增加了30%. 故选：B 26．（2022·全国高三专题练习）设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选B. 点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题． 27．（2020·全国高三专题练习）（多选题）设都是正数，且，那么（ ） A． B． C． D． E. 【答案】AD 【分析】 将指数式化为对数式,并结合五个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】 由题意,设,则,,, 对于选项A,由,可得,因为,故A正确,B错误; 对于选项C,,,故,即C错误; 对于选项D,,,故,即D正确; 对于选项E,,,故,即E错误. 故选:AD. 【点睛】 本题考查了对数的运算性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 28．（2020·全国高一课时练习）设实数x满足，且，则______. 【答案】 【分析】 利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果. 【详解】 即，解得：或 或 故答案为： 【点睛】 本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力. 29．（2020·上海高一课时练习）计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2） 【分析】 （1）根据幂的运算法则和对数的运算法则计算； （2）根据对数运算法则和幂的运算法则计算． 【详解】 （1）原式＝ ＝； （2）原式＝． 【点睛】 本题考查幂的运算法则和对数运算法则，考查学生的运算求解能力，转化与化归能力． 30．（2020·全国高一单元测试）计算：（1） （2）. 【答案】（1）110（2）－7 【分析】 （1）利用指数函数的性质、根式和分数指数幂的转化等运算法则求解； （2）利用对数函数的性质、运算法则直接求解. 【详解】 解：（1）原式 . （2）原式= =7. 【点睛】 本题考查指数式和对数式化简求值，涉及指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力． 31．（2020·浙江高一课时练习）设、、为正数，且满足. （1）求证：； （2）若，，求、、的值. 【答案】（1）证明见解析；（2），，． 【分析】 （1）利用对数的运算性质以及平方差公式可证明左边等于右边； （2）将题干中的对数式化为指数式，结合条件可得出关于、、的方程组，即可解出这三个正数的值. 【详解】 （1）左边右边； （2）由，即，得，① 由，得 ，② 由题设知 ，③ 由①②③及、、为正数，可得，，． 【点睛】 本题考查对数的运算，考查指数与对数式的互化，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 32．（2019·全国高一课时练习）（1）已知均为正数， ，求证：； （2）若正数满足.试猜想之间的一个等量关系（不必证明）. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】 （1），取常用对数即可运算求值（2）根据（1）的特点可猜想 ；当时，有，故时，也有此结论,故当时，猜测. 【详解】 （1）由，得 ∴， ∴ ∴，即. （2）猜想：. 【点睛】 本题主要考查了对数的运算，归纳猜想的能力，属于中档题.