2023天一大联考顶尖计划高三上学期第一次联考理科数学试题含答案

“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合,则中的元素个数为

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

2. 已知复数, 则

A. 1     B.      C.     D. 3

3. 已知非零向量满足,且,则

A.      B.      C.      D.

4. 某士兵进行射击训练,每次命中目标的概率均为,且每次命中与否相互独立,则他连续射击3次,至少命中两次的概率为

A.      B.      C.      D.

5. 已知函数在处取得最大值,则

A.     B.     C.     D.

6. 已知定义域为的偶函数满足,且当时,,则

A.      B.      C. 1     D. 3

7. 我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔( dăo ),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为 (注:1丈=10尺,取3)

A. 1185 平方尺  B. 1131 平方尺  C. 674 平方尺   D. 337 平方尺

8. 甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务, 每个小区至少去1人,每人只去1个小区,且甲、乙去同一个小区, 则不同的安排方法有

A. 28 种    B. 32 种    C. 36 种    D. 42 种

9. 已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,其中, 若 ,则

A. 2     B.      C.      D.

10. 过抛物线的焦点且斜率为-1的直线交于（其中A在轴上方）两点，交的准线于点，且，为坐标原点，则

A. 2     B.     C.     D.

11. 已知是奇函数,则过点向曲线可作的切线条数是

A. 1     B. 2     C. 3     D. 不确定

12、设双曲线的左、右焦点分别为点,过点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若 ,且直线的斜率为 3,则的离心率为

A.     B.     C.      D.

二、填空题: 本题共4小题,每小题5分，共 20 分.

13. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.

14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数:_____.

① ;②当时,单调递减; ③为偶函数.

15. 已知平面上的动点到点和的距离之比为,则点到轴的距离最大值为_____.

16. 微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台,为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示, 有一架无人机在空中处进行航拍,水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机(两人的身高忽略不计),为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100 m,甲观察无人机的仰角为,若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度,则这两个角可以是_____ .(写出所有符合要求的编号)

①和；②和;

③和；④和.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

(一) 必考题:共 60 分.

17. (12 分)

设等差数列的前项和为,已知.

(I) 求数列的通项公式;

(II) 若,求数列的前项和.

18. (12 分)

某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件, 它们的质量指标值统计如下:

(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(II)根据所给数据,完成下面的列联表(表中数据单位:件),并判断是否有的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.

附:,其中.

19. (12 分)

如图, 在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.

(I) 求的长;

(II) 求二面角的余弦值.

20. (12 分)

过椭圆上任意一点作直线

(I) 证明:;

(II) 若为坐标原点, 线段的中点为,过作的平行线与交于两点, 求面积的最大值.

21. (12 分)

设函数.

(I) 讨论的单调性;

(II) 若有两个零点和,设,证明:(为的导函数).

(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)

在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.

(I) 写出的直角坐标方程;

(II) 若与只有一个公共点，求的值.

23. [选修 4-5:不等式选讲] (10 分)

已知均为正实数, 且.

(I) 求的最小值;

(II) 证明: .

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13.   14.（不唯一） 15.     16.①③④

三、解答题：

17.解析(I)设数列的公差为，由题设可得 解得

所以.

(II)由条件可得 ,

①

②

②减①可得:

18.解析 (I)由所给数据,各组的频率分别为 0.1,0.15,0.2,0.35,0.2

所以该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为

(Ⅱ)列联表如下:

所以

因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.

19.解析 ( I )在上取一点, 使得, 连接.

由已知得 , 所以.

因为平面, 所以平面.

又因为平面

所以平面平面.

根据面面平行的性质可知.

在矩形中, 可得,

所以, 所以.

(II) 以为坐标原点, 分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系.

则.

,

设平面的法向量为 ,,

则，所以，取得

设平面的法向量为,

则

所以取, 得

所以

结合图可知二面角的余弦值为.

20. 解析(I)联立

消去整理得,

因为点在上, 所以

化简得.

(II) 设,点,则.

由已知得, 所以,

即点满足方程,所以.

由 得 ,

设,则.

所以

所以

令,因为, 所以.

所以

所以面积的最大值为.

21. 解析 (I) ,

若, 则,函数在上单调递减

若,令,得

当时,,当时,.

所以在上单调递增, 在上单调递减.

(II) 不妨令, 由题设可得

两式相减整理可得.

所以

令 , 则 ,

要证, 即证 , 即证.

令, 则,

所以在上单调递减

又, 所以,

即成立,所以.

22. 解析 (I) 由的极坐标方程可得, 故其直角坐标方程为.

(II) 由的参数方程可得,

即的普通方程为.

联立方程 得, 因为与只有一个公共点,

所以,

解得.

23. 解析 (I) 由基本不等式可知,当且仅当 , 即 时等号成立,所以的最小值为 6 .

(II) 因为, 所以.

.

同理可得

所以，当且仅当时等号成立

所以,

即