江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦函数的单调性

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦函数的单调性，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-正弦函数的单调性

一、单选题
1．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏常州·模拟预测）在中，满足，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）直线与函数的图象在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，则下列结论正确的是（       ）
A． B．在上是减函数
C．为等差数列 D．
5．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）设，则（       ）
A． B．
C． D．
6．（2022·江苏泰州·一模）已知，均为锐角，且，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知，则下列大小关系中正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知函数，下列说法正确的个数为（       ）
①的图象的一个对称中心为
②的图象的一条对称轴为
③的单调递增区间是
④函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）设函数，，，，、、、、.记，、、，则（       ）
A． B．
C． D．
11．（2022·江苏南京·二模）已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
12．（2022·江苏·模拟预测）函数的周期为，则其单调递增区间为（       ）
A． B．
C． D．

二、多选题
13．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则（       ）
A．
B．是图像的一个对称中心
C．当时，取得最大值
D．函数在区间上单调递增
14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知函数关于对称，则下列结论正确的是（       ）
A． B．在上单调递增
C．函数是偶函数 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
15．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知函数.如下四个命题
甲：该函数的最大值为；
乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；
丙：该函数图象关于对称；
丁：该函数图像可以由的图象平移得到.
有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（       ）
A．函数是偶函数 B．的值可唯一确定
C．函数的极小值点为 D．函数在区间上单调递增
16．（2022·江苏南京·模拟预测）（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（       ）
A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数
C．的最大值为 D．若，则
17．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上可能（       ）
A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值
18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．的最小正周期是 B．的值域是
C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称
19．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，先将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）
A． B．的图象关于对称
C．的最小正周期为 D．在上单调递减
20．（2022·江苏·华罗庚中学三模）关于函数，有如下命题，其中正确的有（       ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增
21．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知，则（       ）
A．    B．    C．    D．   
22．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．若对于任意的，都有成立，则
B．若对于任意的，都有成立，则
C．当时，若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，若对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围为
23．（2022·江苏江苏·二模）设函数，下列说法正确的是（       ）
A．当时，的图象关于直线对称
B．当时，在上是增函数
C．若在上的最小值为，则的取值范围为
D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为
24．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心
C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增
25．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知函数，结论正确的有（       ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．在区间上单调递增
26．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数，若的最小正周期为，且对任意，均有，则下列结论中正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．函数在区间上一定不存在零点
D．若函数在上单调递减，则
27．（2022·江苏南京·二模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则以下说法正确的是（       ）
A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于对称
C． D．

三、填空题
28．（2022·江苏苏州·模拟预测）设函数，，，取，，，，则，，的大小关系为________.（用“”连接）

四、解答题
29．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求.
30．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；

参考答案：
1．C
【分析】利用三角函数、对数、指数函数的单调性判断可得答案.
【详解】，
，
，
所以．
故选：C．
2．D
【分析】观察形式后构造函数，由正弦函数性质判断
【详解】令，，当时，，
故与的函数图象交于原点与，
而，由正弦函数图象可知，即，
又，故，得
故选：D
3．A
【分析】推导出，利用余弦函数的单调性可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为，所以，，则，
因为，所以，，A对；
对于B选项，取，，则，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
4．D
【分析】代入验证A，B，求出，即可判断CD.
【详解】A.，故A错误；
B.时，，所以在上是增函数，故B错误；
C.，得，或，
解得：或，,y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，，，，……，可以判断数列不是等差数列，故C错误；
D. 由以上可知，奇数项以为首项，为公差的等差数列，偶数项以为首项，为公差的等差数列，
所以，
，故D正确.
故选：D
5．D
【分析】分别判断出，，，即可得到答案.
【详解】.
因为，所以.
所以；
因为在R上为增函数，所以；
因为在上为增函数，且所以，即；
所以.
故选：D
6．D
【分析】由已知条件可得，构造函数，，利用导数可得在上为增函数，从而可得，再由正余弦函数的单调性可得结论
【详解】，，
令，，，
所以在上为增函数，
∴，
∵，均为锐角，
∴，
∴，
故选：D.
7．C
【分析】A.构造函数，利用其单调性比较大小；
B.构造函数，利用其单调性比较大小；
C.构造函数及函数，利用其单调性比较大小；
D.将转化为，判断的大小关系即可.
【详解】，则，且，
A.因为函数在上单调递减，故，A错误；
B.因为函数在上单调递减，故，B错误；
C.因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， ，C正确；
D.

，
又，，D错误；
故选：C.
8．B
【分析】直接利用正弦函数的性质和三角函数的关系式的平移变换确定、、、的结论．
【详解】解：函数，
对于①，当时，，故函数的图象的一个对称中心为不满足条件，故①错误；
对于②，当时，故②正确；
对于③，令，，整理得：，所以的单调递增区间是，故③正确；
对于④函数的图象向左平移个单位后得到，故函数为偶函数，故④错误；
故选：．
9．D
【分析】根据题意先求出并将函数化简，进而根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，列出关于的不等式，最后解得答案.
【详解】因为函数为偶函数，且在单调递减，所以，而，则，于是，函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以.
故选：D.
10．D
【分析】化简、、，利用函数单调性比较这三个数与的大小关系，即可得出结论.
【详解】函数在上单调递增，且，
所以，

，
因为，故函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，函数的图象关于直线对称，
由题意可知，则，
因为，
所以，


，
因为，
故函数的图象关于点对称，
由题意可知，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因为，
所以，





，
因为，
，
所以，，
因此，.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
11．D
【分析】利用题目条件，构造辅助函数，由导数大于0，得出单调递增，原不等式转化，利用单调性可解不等式.
【详解】令，， 故在R上单调递增.
又，且，
故原不等式可转化为，所以，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了导数的综合应用、利用函数单调性解不等式等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
12．C
【解析】根据周期得到，解不等式得到答案.
【详解】的周期为，故，
其单调增区间满足：，
解得.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数周期，单调性，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
13．ABD
【分析】根据三角函数的性质逐项验证即可
【详解】，所以A对
,所以对.
,为最小值,所以错
当
而在上单调递增.
所以函数在区间上单调递增，所以 D对
故选：ABD
14．AC
【分析】根据题意，可知是对称轴，可解得，然后根据三角函数的性质，即可求出单调性，对称中心.
【详解】因为 ,函数关于对称，可知，所以解得：，故A 对. ,当时，，故B不对. ，所以是偶函数，故C对.
的图象向左平移个单位长度，得到,当 时，，所以D错.
故选：AC
15．ABD
【分析】根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，由此求得函数 的解析式，故可求出的表达式，判断A;求出的值，可判断B;令令，则，判断C; 当时，求出，根据函数 的单调性，判断D.
【详解】由命题甲：该函数的最大值为，可得；
由命题乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得；
由命题丁：由，可知，；
所以命题乙和命题丁矛盾；
若假命题是乙，则，
由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为，，
可得，
故，，不满足条件；
若假命题是丁，则，
由命题丙：该函数图象的一个对称中心为，，可得，
可得，，，可得，所以假命题是丁，
故，
则，为偶函数，A正确；
由以上分析可知，故B正确；
令，则，
因此函数极小值点为，故C错误；
当时，，此时函数 单调递减，
故在时单调，故D正确；
故选：．
16．BCD
【分析】利用对称性定义推理判断A；由与在上单调性判断B；借助导数求出在周期长的区间上的最大值判断C；由在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.
【详解】对于A，因，则的图象关于对称，不关于对称，A错误；
对于B，因与在上都是增函数，则在上是增函数，B正确；
对于C，因，即是奇函数，
又与的最小正周期分别为与，则的正周期为，
当时，，令，得，即，
当时，，当时，，则在上递增，在上递减，
因此，在上的最大值为，由是奇函数得在上的最大值为，
由的正周期为，则在R上的最大值为，C正确；
对于D，由选项C得，，，，
又，则，
所以当时，，D正确．
故选：BCD
17．AD
【分析】由已知条件可得，，然后根据正弦型函数的基本性质逐项判断可得结论.
【详解】因为且，则，，
所以，函数在上不可能有零点，B错；
当时，即当时，在上单调递增，A对；
函数在上可能有极大值，但无最小值，C错D对.
故选：AD.
18．BCD
【分析】对于A，根据周期函数的定义即可验证；对于B，有绝对值，分段讨论，去掉绝对值，即可求出值域；对于C，根据所给区间，确定解析式，从而验证是否单调递减；对于D，根据函数对称的性质，即可求解.
【详解】解：对于A，，
∴是函数的一个周期，
∴的最小正周期不可能是，A错；
对于B，的一个周期为，
时，，
时，，
∴的值域为，B对；
对于C，时，，
，
∴在区间上单调递减，C对．
，
即，
则关于对称，D对,
故选：BCD.
19．BCD
【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，函数的最小正周期为，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，D对.
故选：BCD.
20．ACD
【分析】根据三角函数的最小正周期的公式，以及三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的最小正周期为，所以A正确；
令，解得，所以的对称中心为，所以B错误；
令，解得，
所以的对称轴的方程为，当时，所以C正确；
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，所以D正确.
故选：ACD
21．ABC
【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.
【详解】由题意，，得 ，
，，∴，∴，A对；
，令，即有，
令，
在上递减，在上递增，
因为 ，∴，
作出函数以及 大致图象如图：

则，∴，结合图象则，
∴，∴，B对；
结合以上分析以及图象可得，∴，
且 ，
∴，C对；
由C的分析可知，，
在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；
故选：ABC．
【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.
22．ACD
【分析】由题可得恒成立，利用三角函数的性质可判断A，利用函数的周期的含义可判断B，利用正弦函数的单调性可判断C，由题可得，进而可判断D.
【详解】对于A，对于任意的，都有成立，
所以恒成立，又，，
∴，故A正确；
对于B，由题可得是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为，故B错误；
对于C，当时，当时，，
则，，故，故C正确；
对于D，当时，当时，，
由在上至少有两个零点，
则，即，故D正确.
故选：ACD.
23．AC
【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性、最值的性质、零点的性质逐一判断即可.
【详解】当时，，所以是图象的一条对称轴，即A正确；
当时，若，则，则，所以不单调，即B错误；
若，则，由题意，可知，解得，即C正确；
若，则，由题意，可知，解得，即D错误.
故选：AC
24．ACD
【分析】先求出，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可.
【详解】
，，A对．
是曲线的一个对称中心，B错．
，，，时，，
∴是的一条对称轴，C对．
，，，
∴在上单调递增，D对．
故选： ACD.
25．AD
【分析】对于A，利用周期的定义分析判断，对于B，判断函数的奇偶性，对于C，利用复合函数求值域的方法求解，对于D，利用复合函数求单调性的方法求解
【详解】对于A，因为，
所以是周期函数，所以A正确，
对于B，因为，
所以不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，所以B错误，
对于C，因为，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误，
对于D，令，则，因为在上单调递，在上递增，所以在区间上单调递增，所以D正确，
故选：AD
26．BD
【分析】先化简，再由函数的最小正周期确定的值，由可知在处取得最小值，从而得到与辅助角的关系，进而可判断选项A，B的正误；
由在处取得最小值以及函数的最小正周期，可确定函数在）以及，上的正负以及单调性，
从而得出函数以及的单调性，即可判断选项C，D的正误．
【详解】，
其中，，依题意可得，
于是，其中，．
因为，即在处取得最小值，所以，
所以．当时，，
因此，，解得．故A选项错误；
因为，
所以，解得，故B选项正确；
由于在处取得最小值，且周期为，
所以当时，，因此，
因此在区间上有无数个零点，故C选项错误；
由于在处取得最小值，且周期为，所以，
当时，单调递增，且，
于是当时，单调递减，
而当时，单调递减，且，
于是当时，y单调递增，
故，即，故D选项正确．
故选：BD
【点睛】解决三角函数综合问题的一般步骤：
（1）将化为的形式；
（2）构造；
（3）和角公式逆用，得（其中，）；
（4）利用正弦函数的图象与性质研究的图象与性质．
27．BC
【分析】根据平移求出函数，结合正弦函数的图像性质分别判断即可.
【详解】由题意得，，故，
对于选项C，因，故，因此C正确；
对于选项D，，
故不恒成立，因此D错；
对于选项B，因，
故函数的图象关于对称，因此B正确；
对于选项A，由，求单增区间，
得，即，
故函数在上不是单调递增，因此A错.
故选：BC.
【点睛】本题考查了三角函数的图像平移与正弦函数的图像性质问题，可通过“代入法”或“整体代换法”来处理.
28．
【分析】分别根据三个函数的单调性、对称性，结合裂项相消法，化简求得，并判断的范围，从而可得结论.
【详解】当时，在区间上递增且恒大于零，
故

当时，是一个关于的对称函数，满足，
且其在上递增，在上递减，
故

，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故



，故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数的单调性、正弦函数的单调性，考查了裂项相消法的应用，同时考查了运算能力、转化思想单调应用，属于综合题.
29．(1)见解析
(2)

【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论后可得函数的单调性.
（2）就、分类讨论后可得，再证明时，不等式是恒成立的.
(1)
，
若时，则，
当时，恒成立，当且仅当时等号成立，
故此时在为减函数，无增区间.
当时，若，则；若，则，
，则，
故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
当时，若，则，，则，
故在上为增函数，在上为减函数.
(2)
时，即为，
因为任意时，恒成立，
故在上恒成立，
而，，
若，在，因为为不间断函数，
所以存在，使得，总有，
故在上为减函数，故，，这与题设矛盾.
若，在，因为为不间断函数，
所以存在，使得，总有，
故在上为减函数，故，，这与题设矛盾.
故，此时，
当时，，
当时，，
设，则，
因为在上均为增函数，
故在上为增函数，
而，，
故存在，使得时，，
使得时，，故在为减函数，在上为增函数，
故，总有，
故当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
综上，.
30．（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；
（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.
【详解】（1）依题意，

所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.