人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质精品巩固练习

2022-2023年人教版数学八年级上册13.1.2

《线段的垂直平分线的性质》课时练习

一              、选择题

1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为(　　)

A.50°       B.70°       C.75°       D.80°

2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(        )

A.三条高的交点            B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点          D.三条边的垂直平分线的交点

3.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是(     )

A.10cm                        B.12cm                        C.15cm                          D.17cm

4.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则(　　)

A.BC＞PC+AP    B.BC＜PC+AP  C.BC=PC+AP   D.BC≥PC+AP

5.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(    )

6.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(    )

7.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在(     )

A.AC，BC两边高线的交点处

B.AC，BC两边中线的交点处

C.AC，BC两边垂直平分线的交点处

D.∠A，∠B两内角平分线的交点处

8.在锐角△ABC内的一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC(    ).

A.三条角平分线的交点       B.三边垂直平分线的交点

C.三条高的交点            D.三条中线的交点

9.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点D，E.如果AC=5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为(　　)

A.7cm       B.10cm       C.12cm       D.22cm

10.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(      )

A.1对        B.2对        C.3对        D.4对

11.如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点F、E，连接FA、FB、EA、EB，则下列结论一定正确的是(　　)

A.PA=MA      B.MA=PE     C.PE=BE      D.PA=PB

12.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为(      )

A.90°                           B.95°                          C.100°                            D.105°

二              、填空题

13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC=    .

14.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是               .

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于点D，E，若∠CAE=∠B＋30°，∠AEC=________.

16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是　 　   .

17.如图，△ABC中，AB = AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若AB=10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为     .

18.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O.

下列判断正确的有       .(填序号).

①              AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；

④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为AC×BD.

三              、作图题

19.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图、所示(点M，N表示大学，AO，BO表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；

(2)阐述你设计的理由.

四              、解答题

20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.

求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.

21.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD=29°，求∠B的度数.

22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

(1)用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P(不写作法，保留作图痕迹).

(2)连接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数.

23.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. 
 

(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是________.   

(2)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm. 
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

参考答案

1.B.

2.D

3.C

4.C.

5.D.

6.A.

7.C

8.B.

9.C.

10.D.

11.D.

12.D

13.答案为：15°.

14.答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.

15.答案为：40°

16.答案为：12cm.

17.答案为：17 

18.答案为：①③⑤.

19.解：如图所示：

(1)连接MN，分别以M、N为圆心，以大于1/2AB为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；

(2)以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于1/2GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线；

(3)DE与OF相交于点P，则点P即为所求。

20.证明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC，

∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴AE=AC，

∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥CE，

即直线AD是线段CE的垂直平分线.

21.解：∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠DAE，

∵∠BAD=29°，

∴∠DAE=29°，

∴∠BAC=58°，

∵DE垂直平分AC，

∴AD=DC，

∴∠DAE=∠DCA=29°，

∵∠BAC+∠DCA+∠B=180°，

∴∠B=93°.

22.解：(1)如图，点P为所作；

(2)∵点P在AB的垂直平分线MN上

∴PA=PB，

∴∠B=∠PAB，

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB=∠CAB，

∴∠CAB=2∠B，

∵∠CAB+∠B=90°，

即2∠B+∠B=90°，

∴∠B=30°.

23.解：(1)50°
(2)猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣90°. 
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣(180°﹣2∠B)=2∠B﹣90°.
如图：
 

①∵MN垂直平分AB.∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm.