人教版高考物理一轮复习第13章机械振动与机械波光电磁波与相对论第2讲机械波学案

第2讲　机械波

知识点1　机械波

1．机械波的形成条件

(1)有发生机械振动的波源。

(2)有传播介质，如空气、水等。

2．传播特点

(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。

(2)介质中各质点的振幅相同，振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同。

(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零。

注意：个周期内，振动质点通过的路程一定为2A；但是个周期内，振动质点通过的路程不一定为A(可能＝A、可能＞A、可能＜A)。

3．机械波的分类

(1)横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰(凸部)和波谷(凹部)。

(2)纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部。

知识点2　横波的图像

1．横波的图像

(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。

(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。

(3)图像

(4)应用

①直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。

②确定某时刻各质点加速度方向，并能比较大小。

③结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。

2．波长、波速、频率及其关系

(1)波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。

(2)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。

(3)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。

(4)波长、波速和频率的关系

①v＝λf；②v＝。

知识点3　波特有的现象

1．波的叠加：

观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。

2．波的干涉和衍射：

注意：发生衍射是无条件的，发生明显衍射是有条件的。

3．多普勒效应：

(1)定义：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感受到波的频率发生变化的现象。

(2)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。

(3)规律：

①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率增大；

②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率减小；

③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。

双基自测

一、堵点疏通

1．在水平方向传播的波为横波。(　×　)

2．在机械波中各质点不随波的传播而迁移。(　√　)

3．通过波的图像可以找出任一质点在任意时刻的位移。(　×　)

4．机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。(　√　)

5．机械波在一个周期内传播的距离就是振幅的4倍。(　×　)

6．波速表示介质中质点振动的快慢。(　×　)

7．两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。(　×　)

8．一切波都能发生衍射现象。(　√　)

9．多普勒效应说明波源的频率发生变化。(　×　)

二、对点激活

1．(多选)关于机械振动与机械波下列说法正确的是(　ACD　)

A．机械波的频率等于振源的振动频率

B．机械波的传播速度与振源的振动速度相等

C．机械波在介质中传播的速度由介质本身决定

D．在一个周期内，沿着波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离

E．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向

[解析]　本题考查对机械振动和机械波的认识。机械波的频率是振源的振动频率，由振源决定的，故A正确；机械波的传播速度与介质有关，与振源的振动速度无关，故B错误；机械波在介质中传播的速度由介质本身决定，故C正确；由v＝可知，在一个周期内，沿波的传播方向，振动在介质中传播一个波长的距离，故D正确；波分横波与纵波，纵波的质点振动方向与波的传播方在同一条直线上，横波的质点振动方向与波的传播方向垂直，故E错误。

2．(多选)如图所示，列车上安装一个声源，发出一定频率的乐音。当列车与观察者都静止时，观察者记住了这个乐音的音调。在以下情况中，观察者听到这个乐音的音调比原来降低的是(　BD　)

A．观察者静止，列车向他驶来

B．观察者静止，列车离他驶去

C．列车静止，观察者靠近列车

D．列车静止，观察者远离列车

[解析]　根据多普勒效应，当观察者与声源相互靠近时，观察者接收到的频率大于声源发出的频率；当观察者与声源相互远离时，观察者接收到的频率小于声源发出的频率，故A、C错误，B、D正确。

3．(多选)一列沿x轴方向传播的简谐机械横波，波速为 2.0 m/s。某时刻的波形如图所示，下列说法正确的是(　BDE　)

A．这列波的周期为5.0 s

B．此时x＝4 m处的质点加速度达到最大值

C．此时x＝6 m处的质点一定沿y轴正方向振动

D．从此时起再经6 s，x＝8 m处的质点的位移为－5 cm

E．质点P的加速度方向与相对平衡位置的位移方向相反

[解析]　由波动图像可知，这列波的波长λ＝8 m，则周期T＝＝4 s，选项A错误；此时x＝4 m处的质点处于波谷，加速度达到最大值，选项B正确；此时x＝6 m处的质点运动到平衡位置，由于不知波的传播方向，不能得出振动方向，选项C错误；从此时起再经6 s，x＝8 m处的质点运动到波谷，其位移为－5 cm，选项D正确；根据振动的加速度大小与位移成正比，方向相反可知，选项E正确。

核心考点·重点突破

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO

考点一　机械波的传播与图像

1．机械波的传播特点：

(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。

(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。

(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改变。

(4)振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝＝λf。

2．波的图像特点：

(1)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。

(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ时(n＝1,2,3…)，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3…)时，它们的振动步调总相反。

3．波的传播方向与质点的振动方向的判断方法

例1　(2019·北京，13)一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则(　C　)

A．此刻a的加速度最小

B．此刻b的速度最小

C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动

D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置

[解析]　A错：此刻a的位移最大，由a＝－知，此时a的加速度最大。B错：此刻b位于平衡位置，其速度最大。C对：若波沿x轴正方向传播，a比b离波源近，b在模仿a的振动，a在上方此时b向y轴正方向运动。D错：若波沿x轴负方向传播， c向y轴正方向运动， 故c比a先回到平衡位置。

〔变式训练1〕(2020·浙江选考)(多选)如图所示，两种不同材料的弹性细绳在O处连接，M、O和N是该绳上的三个点，OM间距离为7.0 m，ON间距离为5.0 m。O点上下振动，则形成以O点为波源向左和向右传播的简谐横波Ⅰ和Ⅱ，其中波Ⅱ的波速为1.0 m/s。t＝0时刻O点处在波谷位置，观察发现5 s后此波谷传到M点，此时O点正通过平衡位置向上运动，OM间还有一个波谷。则(　BD　)

A．波Ⅰ的波长为4 m

B．N点的振动周期为4 s

C．t＝3 s时，N点恰好处于波谷

D．当M点处于波峰时，N点也一定处于波峰

[解析]　OM之间有两个波谷，即1λ1＝7 m，解得波Ⅰ的波长为λ1＝5.6 m，根据题意可知波Ⅰ的波速为v1＝＝1.4 m/s，故波的周期为T＝＝ s＝4 s。同一波源的频率相同，故N点的振动周期为4 s，A错误，B正确；波Ⅱ的波长为λ2＝v2T＝4 m，故在t＝0时刻N处于平衡位置向下振动，经过3 s，即四分之三周期，N点在波峰。C错误；因为MN两点到波源的距离都为其各自波长的1，又两者振动周期相同，起振方向相同，所以两者振动步调相同，即当M点处于波峰时，N点也一定处于波峰，D正确。

考点二　波动图像与振动图像综合

两种图像的比较

例2　(2019·全国卷Ⅰ)(多选)一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)表示介质中某质点的振动图像。下列说法正确的是(　CDE　)

图(a) 图(b)

A．质点Q的振动图像与图(b)相同

B．在t＝0时刻，质点P的速率比质点Q的大

C．在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大

D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示

E．在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大

[解析]　A错：t＝时刻，质点Q在平衡位置，向上振动，振动图像与图(b)不符。B错，C对：t＝0时刻的波形图如图所示[图(a)的波形图左移半个波长即可得到]，质点P在最低点，Q在平衡位置，质点Q的速率比P的大；P的加速度大小比Q的大。

D对：t＝时刻，坐标原点的质点经过平衡位置向下振动，对应的振动图像与图(b)吻合。E对：t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离为振幅，质点Q在平衡位置，与其平衡位置的距离为0。

〔变式训练2〕(多选)甲图为一列简谐横波在t＝2 s时波的图像，Q为x＝4 m的质点，P为x＝11 m的质点。乙图为质点P的振动图像。下列说法正确的是(　ADE　)

A．此波沿x轴负方向传播

B．t＝2 s时，Q点的位移为 cm

C．t＝ s时，Q点到达正的最大位移处

D．t＝ s时，Q点回到平衡位置且向y轴负方向运动

E．质点P的振动方程为y＝－2sin(0.5πt) cm

[解析]　由乙图知，在t＝2 s时质点P沿y轴正方向运动，根据上下坡法可知此波沿x轴负方向传播，故A正确；由甲图知，波长λ＝12 m，由乙图知，周期T＝4 s，所以波速v＝＝3 m/s。在t＝2 s时，x＝14 m处的质点处在正向最大位移处，当该点的振动形式传播到Q点时，Q点到达波峰，需时Δt＝＝ s＝ s，所以t＝ s时，Q点到达正的最大位移处，故C错误；x＝5 m处质点的振动形式传播到Q点时，Q点回到平衡位置且向y轴负方向运动，需时Δt′＝＝ s，所以t＝ s时，Q点回到平衡位置且向y轴负方向运动，故D正确；因为从图甲t＝2 s时刻再经过Δt′＝ s＝，Q点第一次回到平衡位置，所以t＝2 s时，Q点的位移为A sin＝1 cm，故B错误；角速度ω＝＝ rad/s，质点P的振动方程为y＝－2sin(0.5πt)cm，故E正确。

考点三　波的多解问题

1．造成波动问题多解的主要因素

(1)周期性

①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。

②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。

(2)双向性

①传播方向双向性：波的传播方向不确定。

②振动方向双向性：质点振动方向不确定。

如：a.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。

b．质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。

c．只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。

 d．只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。

(3)波形的隐含性形成多解

在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。

2．解决波的多解问题的思路

一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)，若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)。

例3　(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点。下列说法正确的是(　ACD　)

A．这列波的波速可能为50 m/s

B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm

C．质点c在这段时间内通过的路程可能为60 cm

D．若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同

E．若T＝0.8 s，从(t＋0.4) s时刻开始计时，则质点c的振动方程为x＝0.1sin(πt)m

[解析]　由波形图可知波长λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋T

(n＝0,1,2…)，解得周期T＝ s(n＝0,1,2…)。当n＝0时，T＝0.8 s，波速v＝＝50 m/s，选项A正确；由传播方向沿x轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8 s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30 cm；当n＝1时，T＝ s，质点a在这段时间内通过的路程大于30 cm，选项B错误；若n＝1，则T＝ s，波传播到c点所用时间为 T,0.6 s＝，质点c振动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c通过的路程则为6A＝60 cm，选项C正确；若T＝0.8 s，t＋0.5 s时刻，质点P从平衡位移向下移动Δt＝0.1 s，质点P从波谷向上移动Δt＝0.1 s，而＝0.2，故质点b、P的位移均为负值，大小相等，选项D正确；若T＝0.8 s，当(t＋0.4) s时刻时，质点c在上端最大位移处。ω＝＝2.5 rad/s，据图知，A＝0.1 m。质点c的振动方程为x＝0.1cos(2.5πt) (m)，选项E错误。

方法技巧　波的多解问题的求解

解题的一般思路有如下情况：

(1)波的空间周期性。在波的传播方向上，相距为波长整数倍的多个不同质点的振动情况完全相同，它们之间的距离为波长的整数倍。

(2)波的时间周期性。由波的特性可知，波在t＝nT时间内，向外传播Δx＝nλ的距离，所以经过整数倍周期时，其波形图线完全相同。

(3)波的双向性。若题中没有已知波的传播方向，也无法由题意确定波的传播方向，则在解题时要注意考虑波的传播方向的不确定性。

〔变式训练3〕(2019·天津)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　BC　)

图1

图2

A．7 m/s　　　 B．2 m/s

C．1.2 m/s　 D．1 m/s

[解析]　由振动图像可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若沿x轴正向传播，其波形如图所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……

则波长有：x2－x1＝λ(n＝0、1、2……)

得波速表达式v＝＝＝(n＝0、1、2……)

当n＝0时，v＝6 m/s，当n＝1时，v＝1.2 m/s，C正确。

②若沿x轴负向传播，其波形如图所示。

则有x2－x1＝λ(n＝0、1、2……)

得v＝＝＝(n＝0、1、2……)

当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v≈0.86 m/s，B正确。

考点四　波的干涉、衍射、多普勒效应

波的干涉中振动加强点和减弱点的判断

(1)图像法：在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接而成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，这就是干涉图样，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。

(2)公式法：①当两个相干波源的振动步调一致时，到两个波源的距离之差Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)处是加强区，Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)处是减弱区。

②当两波源振动步调相反时。

若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；

若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。

例4　(2020·江西南昌月考)(多选)两列完全相同的机械波在某时刻的叠加情况如图所示，图中的实线和虚线分别表示波峰和波谷，此时(　ACD　)

A．a、b连线中点振动加强

B．a、b连线中点速度为零

C．a、b、c、d四点速度均为零

D．再经过周期c、d两点振动仍然减弱

E．再经过周期c、d两点振动加强

[解析]　本题考查波的叠加问题。图中a点为波谷与波谷相遇，b点为波峰与波峰相遇，a、b两点速度均为零，a、b连线中点质点在平衡位置振动速度最大，在a、b连线上为振动加强区，振动始终加强，每个点的振幅都为2A，c、d两点振动始终减弱，振幅为零，即质点静止，故B、E错误，A、C、D正确。

易错分析　对振动加强、减弱理解不透彻引起错解

波的叠加满足矢量法则，当振动情况相同则相加，振动情况相反则相减，且两列波互不干扰。例如当该波的波峰与波峰相遇时，此处相对平衡位置的位移为振幅的二倍；当波峰与波谷相遇时此处的位移为零。判断振动加强或减弱的条件：振幅最大的点为振动加强点，振幅最小的点为振动减弱点。需要特别指出的是：(1)振动加强点的振幅一定大于振动减弱点的振幅；(2)振动加强点的位移不一定大于振动减弱点的位移。本题在判断振动位置及振动速度大小时容易出错。

〔变式训练4〕如图(a)所示，在xy平面内有两个沿垂直于纸面方向做简谐振动的点波源S1(0,4)和S2(0，－2)。两波源的振动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。两列波从波源传播到点A(8，－2)的路程差为2m，两列波引起的点B(4,1)处质点的振动相互减弱(填“加强”或“减弱”)，点C(0,0.5)处质点的振动相互加强(填“加强”或“减弱”)。

图(a)

图(b)　　　　　　　　　图(c)

[解析]　(1)波长λ＝vT＝2 m，两列波的波长相等。

两波源到A点的路程差Δx＝ m－8 m＝2 m。

两波源到B点的路程差Δx′＝ m－ m＝0，

初相相差π，B点为振动减弱点。

两波源到C点的路程差Δx″＝3.5 m－2.5 m＝1 m＝，初相相差π，C点为振动加强点。

2年高考·1年模拟

2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI

1．(2020·山东卷)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知x＝λ处质点的振动方程为y＝Acos，则t＝T时刻的波形图正确的是(　D　)

[解析]　根据题意可知，t＝T时，在λ＝λ＋λ处的质点处于y＝Acos＝Acos＝Acos＝0，则此时质点位于平衡位置；下一时刻，该质点向上运动，远离平衡位置，根据题意，横波沿x轴负方向传播，根据同侧法判断可知，A、B、C错误，D正确。故选D。

2．(2020·全国Ⅲ理综·34(1))如图，一列简谐横波平行于x轴传播，图中的实线和虚线分别为t＝0和t＝0.1 s时的波形图。已知平衡位置在x＝6 m处的质点，在0到0.1 s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为0.4s，波速为10m/s，传播方向沿x轴负方向(填“正方向”或“负方向”)。

[解析]　本题考查波的传播问题。根据题图可知波长λ＝4 m，根据平衡位置在x＝6 m处的质点在0到0.1 s时间内运动方向不变可知，此过程该质点从最大位移处第一次运动到平衡位置，且继续向下运动，由同侧法可知该波的传播方向沿x轴负方向，运动时间为T＝0.1 s，可得周期T＝0.4 s，所以波速为v＝＝10 m/s。

3．(1)(2020·全国Ⅰ理综·34(1))(多选)在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有BCE。

A．雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声

B．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化

C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低

D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同

E．天文学上观察到双星(相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星)光谱随时间的周期性变化

(2)(2020·全国Ⅰ理综·34(2))一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为l。求

(ⅰ)波的波长；

(ⅱ)波的传播速度。

[答案]　(ⅰ)l　(ⅱ)

[解析]　本题考查光、机械波、多普勒效应。光的传播速度大于声的传播速度，故雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声，与多普勒效应无关，A错误；超声波被血管中的血液反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化，是多普勒效应的体现，B正确；列车远去时观察者接收到的汽笛声频率变小，音调会变低，是多普勒效应的体现，C正确；机械波的传播速度与介质有关，故同一声源发出的声波在空气和水中的传播速度不同，与多普勒效应无关，D错误；天文学上观察到双星光谱随时间的周期性变化的原因是双星与观察者之间的距离随时间周期性变化，观察者接收到的光谱的频率周期性变化，是多普勒效应的体现，E正确。

(2)(ⅰ)如图，设距c点最近的振幅极大的点为d点，a与d的距离为r1，b与d的距离为r2，d与c的距离为s，波长为λ。则

r2－r1＝λ  ①

由几何关系有

r1＝l－s  ②

r＝(r1sin 60°)2＋(l－r1cos 60°)2  ③

联立①②③式并代入题给数据得

λ＝l。  ④

(ⅱ)波的频率为f，设波的传播速度为v，有

v＝fλ  ⑤

联立④⑤式得

v＝。  ⑥