【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点08：指数与指数函数

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[考纲传真]
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
[题型归类]
题型一：指数幂的化简与求值
题型二：指数函数的图象
题型三：指数函数的值域与最值
题型四：指数函数的特征
题型五：指数函数的单调性问题
题型六：指数函数的性质及应用——比较大小
题型七：指数函数的性质及应用——解不等式
题型八：指数函数的性质及应用——恒成立问题
题型九：指数函数的性质及应用——零点交点问题
题型一 指数幂的化简与求值
知识与方法
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n∈N*时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*)．[来]
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数幂的运算规律
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
►例1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－eq \f(2,3)＋(0.002)－eq \f(1,2)－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0.
解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500)))－eq \f(1,2)－eq \f(10,\r(5)－2)＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,27)))eq \f(2,3)＋500eq \f(1,2)－10(eq \r(5)＋2)＋1
＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).
►例2化简eq \r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
解析：选D eq \r(4,16x8y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
►例3若a＝(2＋eq \r(3))－1，b＝(2－eq \r(3))－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是( )
A．1 B.eq \f(1,4)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 ∵a＝(2＋eq \r(3))－1＝2－eq \r(3)，b＝(2－eq \r(3))－1＝2＋eq \r(3)，
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－eq \r(3))－2＋(3＋eq \r(3))－2
＝eq \f(1,12－6\r(3))＋eq \f(1,12＋6\r(3))＝eq \f(2,3).
►例4化简： (a>0，b>0)；
解析：原式＝＝
＝ab－1.
题型二 指数函数的图象
知识与方法
指数函数的图象与性质
指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
指数函数图象的应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
►例1 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
►例2若存在负实数使得方程2x－a＝eq \f(1,x－1)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y＝eq \f(1,x－1)和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．
►例3设函数y＝x3与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )．
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 (数形结合法)如图所示．
由1－1＜x－2＜0,1►例4函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0题型三 指数函数的值域与最值
知识与方法
►例1 函数f(x)＝3x＋1的值域为( )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．
►例2已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)] B．(2－eq \r(2)，2＋eq \r(2))
C．[1,3] D．(1,3)
解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－eq \r(2)＜x＜2＋eq \r(2).
►例3定义运算：a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b，))如1*2=1,则函数f(x)=2x *2-x的值域为 ( )．
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析 f(x)＝2x*2－x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,2－x，x>0，))∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0答案 C
►例4已知函数f(x)＝2x－eq \f(1,2x)，函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，x≥0，,f－x，x<0，))则函数g(x)的最小值是0.
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－eq \f(1,2x)为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－eq \f(1,2－x)为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
题型四 指数函数的特征
知识与方法
►例1 当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，y＝1－3＝－2，故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
►例2若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.
►例3不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－eq \f(a,2)恒过定点，则这个定点的坐标是 ( )．
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
解析 y＝(a－1)2x－eq \f(a,2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))－2x，令2x－eq \f(1,2)＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－eq \f(a,2)恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))).
►例4函数f(x)＝ax－eq \f(1,a)(a>0，a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象D适合．
题型五 指数函数的单调性问题
知识与方法
►例1 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－eq \r(2)，－1)∪(1，eq \r(2))
解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0►例2已知函数y＝2eq \s\up10(－x2＋ax＋1)在区间(－∞，3)上单调递增，则a的取值范围为________．
解析 由题意知，函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则eq \f(a,2)≥3，即a≥6.
题型六 指数函数的性质及应用——比较大小
知识与方法
►例1 (2012·天津高考)已知a＝21.2，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－0.8，c＝2lg52，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：∵a＝21.2，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－0.8＝20.8，∴a＞b＞1.
又c＝2lg52＝lg54＜1，∴a＞b＞c.
►例2(2012·浙江高考)设a＞0，b＞0，( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
解析：∵a>0，b>0，
∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.
令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．
∴a>b.
►例3设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \f(2,5)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(3,5)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(2,5)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A 构造指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \f(2,5)＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \f(2,5)，即a＞c，故a＞c＞b.
►例4已知a＝(eq \r(2))，b＝2，c＝9，则( )
A．bC．b解析：选A a＝(eq \r(2))＝2＝2，b＝2，c＝9＝3，由2<3得aeq \f(2,5)，得a>b，所以c>a>b.故选A.
题型七 指数函数的性质及应用——解不等式
知识与方法
►例1 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x<0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，x≥0，))则不等式－eq \f(1,3)≤f(x)≤eq \f(1,3)的解集为( )
A．[－1,2)∪[3，＋∞) B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(1，eq \r(3) ]∪[3，＋∞)
解析：选B 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x<0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，x≥0))和函数g(x)＝±eq \f(1,3)的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x<0时，是区间(－∞，－3]，当x≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－eq \f(1,3)≤f(x)≤eq \f(1,3)的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
►例2函数f(x)＝ eq \r(\f(2＋x,x－1))的定义域为集合A，关于x的不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x＞2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解：由eq \f(2＋x,x－1)≥0，解得x≤－2或x＞1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x＞2－a－x⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＋x⇔2x＜a＋x⇔x＜a，所以B＝(－∞，a)．
因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
►例3 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－8x＜0，,x2＋x－1x≥0，))若f(a)＞1，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：选B 由f(a)＞1知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))a－8＞1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,a2＋a－1＞1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,a＜－2)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,a＜－2或a＞1，))即a＜－2或a＞1.
►例4若对于任意x∈(－∞，－1]，都有(3m－1)2x<1成立，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选C ∵2x>0，∴不等式(3m－1)2x<1对于任意x∈(－∞，－1]恒成立等价于3m－1题型八：指数函数的性质及应用——恒成立问题
知识与方法
►例1 设函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5，当0≤x≤1时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函数，f(x)＞0恒成立⇔f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2.
►例2已知f(x)＝x2，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
解析 x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－m，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0－m))，即g(x2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－m，1－m))，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥eq \f(1,4)－m，故m≥eq \f(1,4).
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
►例3若对于任意x∈(－∞，－1]，都有(3m－1)2x<1成立，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选C ∵2x>0，∴不等式(3m－1)2x<1对于任意x∈(－∞，－1]恒成立等价于3m－1►例4已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3(a＞0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－x－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ax,1－ax)＋\f(1,2)))(－x)3
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＞0，即eq \f(1,ax－1)＋eq \f(1,2)＞0，
即eq \f(ax＋1,2ax－1)＞0，则ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
题型九：指数函数的性质及应用——零点交点问题
知识与方法
►例1 若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，
若0若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．
►例2若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
解析：(数形结合法)
当0∴0同理，当a>1时，解得01矛盾．
综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
►例3二次函数y＝－x2－4x(x>－2)与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象的交点个数是( C )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：因为函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x>－2)，且当x＝－2时，y＝－x2－4x＝4，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝4，则在同一直角坐标系中画出y＝－x2－4x(x>－2)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.
y＝ax[来t]
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质[来
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数