人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式复习练习题

一元二次不等式恒成立和有解问题

一、一元二次不等式在实数集上的恒成立

1、不等式对任意实数恒成立⇔或

2、不等式对任意实数恒成立⇔或

【注意】对于二次不等式恒成立问题，

恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；

恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．

二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法

方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，

可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；

方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，

则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即.

三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；

一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.

即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

1、对任意的，恒成立⇒；

若存在，有解⇒；

若对任意，无解⇒.

2、对任意的，恒成立⇒；

若存在，有解⇒；

若对任意，无解⇒.

题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题

【例1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-1】“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ）

A．        B．        C．         D．

【变式1-2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．或        D．或

【变式1-3】已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-4】关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【例2】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【变式2-1】已知对恒成立，则实数的取值范围________.

【变式2-2】已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【变式2-3】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（    ）

A．0        B．        C．        D．

【变式2-4】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题

【例3】当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【变式3-1】若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-2】已知，不等式恒成立，则的取值范围为   

A．       B．       C．       D．

【变式3-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-3】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题

【例4】已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.

【变式4-1】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．

【变式4-2】，使得不等式成立，则m的取值范围是___________.

【变式4-3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．

题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【例5】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-1】已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-2】若关于的不等式在有解，则的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-3】已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-4】关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．