高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）复习练习题

3.4 函数的应用（一）

一、一次函数模型

1、一次函数为：

2、求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．

3、解决实际应用问题的一般步骤

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如图：

二、二次函数模型

1、二次函数：形如

2、求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.

3、解决实际应用问题的注意事项

（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．

（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

（3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

三、幂函数模型

幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)，

在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.

四、分段函数模型

1、分段函数的定义域：对应每一段自变量取值范围的并集．

2、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

题型一 一次函数模型应用

【例1】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．

【答案】s＝13＋120t，；233

【解析】因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝ (h)，所以0≤t≤.

因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，

所以火车运行总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是

s＝13＋120t，.

2 h内火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km)．

【变式1-1】为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度：

（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？

【答案】（1）；（2）给出的这套桌椅是配套的．详见解析

【解析】（1）因为课桌高度（cm）是椅子高度（cm）的一次函数，

所以可设为，

将符合条件的两套课桌椅的高度代如上述函数解析式，

得，解得，与的函数关系式是．

（2）把代入上述函数解析式中，得，

给出的这套桌椅是配套的．

【变式1-2】夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是（    ）

A．1800米       B．1700米        C．1600米       D．1500米

【答案】B

【解析】设山的相对高度为，单位为百米，相应的温度为，单位为℃，

则，令，解得，所以山的相对高度为1700米.

【变式1-3】据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(    )

A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)          B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)

C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)        D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)

【答案】D

【解析】由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，

则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．

题型二 二次函数模型应用

【例2】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（    ）

A．90万元        B．60万元        C．120万元        D．120.25万元

【答案】C

【解析】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，

公司获利为，

∴当或10时，最大，为120万元.故选C.

【变式2-1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.

（1）求的值；

（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.

【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.

【解析】（1）因为.且时，.

所以解得. .

（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.  

所以商场每日销售该商品所获得的利润：

因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.

所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.  

所以当销售价格定为6元/千克时，

商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.

【变式2-2】如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.

（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；

（2）求梯形周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）作于点，连接，因为是半圆的直径，所以，

易知，所以，所以，

又因为，，

所以，

所以，

因为，，所以，

所以.

（2）因为，，

所以时，有最大值，且最大值为，

所以当时，梯形的周长最大，最大为.

【变式2-3】某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.

（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）

（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.

哪一种方案较为合算？请说明理由.

【答案】（1）3年；（2）方案①较为合算

【解析】（1）由题意可得，即，

解得，，

该车运输3年开始盈利.；

（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，

，当且仅当时，取等号，

方案①最后的利润为：（万；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，

，

时，利润最大，

方案②的利润为（万，

两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，

第一个方案更好，因为用时更短，

方案①较为合算.

题型三 幂函数模型应用

【例3】某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ）

A．         B．         C．         D．

【答案】A

【解析】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，

所以年的总收入为亿元，

因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，

所以年通过理财业务的收入为亿元，

所以，解得.故的值至少为，故选：A.

【变式3-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ）

A．         B．         C．2         D．

【答案】A

【解析】由题可知加密密钥为，

由已知可得，当时，，

所以，解得，

故，显然令，即，

解得，即．故选：A.

【变式3-2】某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

（1）求的值；

（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？

【答案】（1）；（2）年.

【解析】设今年碳排放量为.

（1）由题意得，所以，得.

（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，

则，

将代入得，即，得.

故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.

题型四 分段函数模型应用

【例4】在一次为期 15 天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐 40 人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是(    )

A．7        B．8        C．9        D．10

【答案】D

【解析】当时，函数为一次函数，单调递增，

当时取得最大值，即.

当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为，

由于为整数，故当时取得最大值，即，故选.

【变式4-1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.

（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？

（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

【答案】（1）；（2）；（3）元

【解析】设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，

则.

（2）当时，；

当时，；

当时，.

（3）设工厂获得的利润为元，则，

即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.

【变式4-2】某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．

（1）把利润表示为年产量的函数f(x)；

（2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大？

【答案】（1）f(x)＝；（2）475件．

【解析】（1）产量为x(百件)，

当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；

当x＞5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x；

∴f(x)＝；

（2）当0≤x≤5时，f(x)＝＋10.78125；

当x＞5时，函数f(x)为单调递减函数．

∴当x＝4.75时，即年产量为475件时，公司所得利润最大．

【变式4-3】暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

【答案】（1）（2）当人数为45人时，最大收入为20250元

【解析】（1）由题意可知每人需交费关于人数的函数：

（2）旅行社收入为，则，

即，

当时，为增函数，

所以，

当时，为开口向下的二次函数，

对称轴，所以在对称轴处取得最大值，.

综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.

题型五 对勾函数模型应用

【例5】某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）。已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件。

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？

【答案】（1）

（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元

【解析】（1），将代入

（2）令，在单减，单增

∴当时，利润最大值为17万元；

当时，最大利润万元

【变式5-1】某公司一年需要一种计算机元件8000个，每个电子元件单价为a元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，每次单价不变，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为件，每个元件的库存费是一年2元．

（1）将公司每年总费用F表示成x的函数；

（2）请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小．

【答案】（1）F＝x++8000a；（2）4次.

【解析】（1）由题意可知，n＝，

F＝8000a+500n+2•x＝x+500•+8000a，

即：F＝x++8000a；

（2）由（1）可知，

F＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．

当且仅当，即n＝4时，总费用最少，故每年进货4次花费最小．

【变式5-2】某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大

【解析】（1）由题意可知，当时， （万件），

所以，所以，所以，

每件产品的销售价格为 （万元），

所以年利润

所以，其中.

（2）因为时，，即

所以，当且仅当，

即（万元）时，（万元）.

所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.

【变式5-3】小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】（1）

（2）当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.

【解析】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，；

当时，.

所以；

（2）当时，，

当时，取得最大值；

当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.

当时，取得最大值.

由，则可知当年产量为8万件时，

小李在这一产品的生产中所获利润最大，

最大利润为万元.