湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系学案

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2．1 相等关系与不等关系
2．1.1 等式与不等式
第1课时 等式与不等式(1)
教材要点
要点一 不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
状元随笔 不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
要点二 比较两个实数a，b大小的依据
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0⇔a________b；
a－b＝0⇔a________b；
a－b＜0⇔a________b.
状元随笔 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( )
(2)若ab＞1，则a＞b.( )
(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.( )
(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.( )
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．
题型1 用不等式(组)表示不等关系
例1 (1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．
(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？
方法归纳
用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
跟踪训练1 (1) 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．
(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用不等式表示x，y所满足的不等关系．
题型2 实数(式)的比较大小
例2 已知a＞0，试比较a与1a的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练2 (1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与ba的大小．
题型3 不等关系的转化及应用
例3 2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
方法归纳
现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
跟踪训练3 甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
课堂十分钟
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是( )
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )
A．3或4 B．4或5
C．3或5 D．4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．1 相等关系与不等关系
2．1.1 等式与不等式
第1课时 等式与不等式(1)
要点二
1．正数 等于0 负数
2．> ＝ <
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以M>N.故选A.
答案：A
4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.
(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
500x+600y≤4 000，3x≥y，x≥0，y≥0，x∈N+，y∈N+.
答案：(1)72＋12x＞408 (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有600x+700y≥56 000，800x+400y≥63 000，x≥0，y≥0，即6x+7y≥560，4x+2y≥315，x≥0，y≥0.
答案：(1)7.9≤v＜11.2 (2)见解析
例2 解析：因为a－1a＝a2-1a
＝a-1a+1a，a＞0
所以当a＞1时，a-1a+1a＞0，有a＞1a；
当a＝1时，a-1a+1a＝0，有a＝1a；
当0＜a＜1时，a-1a+1a＜0，有a＜1a.
综上，当a＞1时，a＞1a；
当a＝1时，a＝1a；
当0＜a＜1时，a＜1a.
跟踪训练2 解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：b+ma+m-ba＝ab+am-ab-bmaa+m＝ma-baa+m.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴ma-baa+m＜0，∴b+ma+m＜ba.
答案：(1)C (2)见解析
例3 解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元．
由题意，得y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34nx，y2＝45nx.
因为y1－y2＝14x＋34nx－45nx
＝14x－120nx＝14x1-n5，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2，
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
跟踪训练3 解析：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100a+b200＝a+b2.
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a+100b＝21a+1b＝2aba+b，
因为a+b2-2aba+b＝a+b2-4ab2a+b＝a-b22a+b＞0，所以a+b2＞2aba+b.
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
[课堂十分钟]
1．解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x答案：CD
2．解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故选D.
答案：D
3．解析：设宿舍房间数量为x，男生人数为y，则y=3x+60＜y-5x-1＜5x，y∈N*，解得x＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.
答案：B
4．解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x答案：x5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则ab＜a+mb+m.
(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水浓度为a1b1，浓糖水浓度为a2b2，
则混合后的糖水浓度为a1+a2b1+b2，
则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1+a2b1+b2＜a2b2.
最新课程标准
学科核心素养
1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象)
2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算)
3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理)
4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)
1.梳理等式的性质．
2．理解不等式的概念．
3．掌握不等式的性质．
文字
语言
大于
大于
等于
小于
小于
等于
至多
至少
不少于
不多于
符号
语言
＞
≥
＜
≤
≤
≥
≥
≤
食物
甲
乙
维生素A/(单位/kg)
600
700
维生素B/(单位/kg)
800
400