2022新教材高中数学第六章统计3用样本估计总体分布素养作业北师大版必修第一册

第六章　§3　3.1　3.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：

第三组的频数和频率分别是(　A　)

A．14和0.14　 B．0.14和14

C．和0.14　 D．和

[解析]　x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为＝0.14.

2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60)内的汽车有(　C　)

A．30辆　 B．40辆　

C．60辆　 D．80辆

[解析]　因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆)．

3．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．

则根据折线图，下列结论错误的是(　D　)

A．最高气温高于25℃的月份有3个

B．10月的最高气温不低于5月的最高气温

C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月

D．最低气温低于0℃的月份有4个

[解析]　在A中，最高气温高于25℃的月份有3个，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选D．

4．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2700，3000)内的频率为(　D　)

A．0.001　 B．0.01　

C．0.003　 D．0.3

[解析]　频率＝×组距，组距＝3000－2700＝300，＝0.001，∴频率＝0.001×300＝0.3.

5．(多选)(2021·山东省济南市期中)如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图可知下列信息正确的有(　BCD　)

A．家用电器部所得利润最高

B．服装鞋帽和百货日杂共售出

29000元

C．副食的销售额为该商场营业额的10%左右

D．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%

[解析]　由某商场一天营业额的扇形统计图，得：对于A，家用电器的销售额最高，但利润不一定最高，故A错误；副食的销售额占该商场营业额的比重为1－40%－30%－20%＝10%，副食的销售额为5800元，所以服装鞋帽和百货日杂共售出(30%＋20%)×＝29000(元)，故B，C正确；对于D，该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%，故D正确．

6．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则估计样本中在[40，50)，[50，60)内的数据共有(　B　)

A．14个　 B．15个　

C．16个　 D．17个

[解析]　∵样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，∴样本中数据在[20，60)内的频数为30×0.8＝24，∴样本中在[40，50)，[50，60)内的数据共有24－4－5＝15(个)．

二、填空题

7．一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n＝__144__，频率为的乙组的频数x＝__24__．

[解析]　由题意得＝，所以n＝36×4＝144，同理＝，x＝24.

8．某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A的人数是__19__．

[解析]　由扇形图可知：评价等级为A的人数占总人数的38%，由此可知高一(1)班的50名学生中有50×38%＝19人在该等级中．

9．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3000，4000)(单位：元)内的应抽取__40__人．

[解析]　月收入在[3000，4000)的频率为1－(0.0001＋0.00025×2＋0.00015＋0.00005)×1000＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)．

三、解答题

10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

[解析]　(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，

因此第二小组的频率为＝0.08.

又因为第二小组的频率＝，所以样本量＝＝＝150.

(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.

11．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段(单位：分)：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，然后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率；

(2)补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)．

[解析]　(1)根据各小组的频率之和等于1，可得第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.

(2)补全直方图如图．

根据题意知，考试得60分及以上的分数在第三、四、五、六小组，频率之和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽取学生的成绩的及格率为75%，据此估计这次考试的及格率为75%.

B　组·素养提升

一、选择题

1．为了解某年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，结果如下(单位：cm)：

149　159　142　160　156　163　145　150　148　151

156　144　148　149　153　143　168　168　152　155

在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4cm，那么组数为(　D　)

A．4　 B．5　

C．6　 D．7

[解析]　由于组距为4cm，故可分组为142～146，146～150，150～154，154～158，158～162，162～166，166～170.

2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86)．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是(　D　)

A．12　 B．18　

C．25　 D．90

[解析]　净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.故选D．

3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为(　A　)

A．200，20　 B．100，20　　　

C．200，10　 D．100，10

[解析]　该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.

4．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a－b|的值等于(　B　)

A．h·m　 B．

C．　 D．与m，h无关

[解析]　小长方形的高＝，|a－b|＝＝.

二、填空题

5．如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70, 80)，[80，90)，[90, 100]，则图中x的值是__0.018__．

[解析]　由图可知纵轴表示.故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006－0.006＝0.018.

6．如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的优秀率(120分及以上为优秀)为__30%__．

[解析]　优秀率为10×(0.0225＋0.005＋0.0025)＝0.3＝30%.

7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为__48__．

[解析]　前3个小组的频率和为1－0.0375×5－0.0125×5＝0.75.又因为前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第2小组的频率为×0.75＝0.25.又知第2小组的频数为12，则＝48，即为所抽样本的人数．

三、解答题

8．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：

(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？

(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？

(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？

[解析]　(1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查．

(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.

即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.

(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1000(人)，×1000＝160(人)．

即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．

9．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分)如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，，90，95，由于保存不利，其中[80，90)内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图(如图所示)也被墨水覆盖了部分区域．

(1)求成绩在区间[50，60)内的频率及抽样人数；

(2)求成绩在区间[80，90)内的频数，并计算频率分布直方图中区间[80，90)对应的小矩形的高；

(3)试估计全班成绩在82分以下的学生比例．

[解析]　(1)易知成绩在区间[50，60)内的频率为0.008×10＝0.08，成绩在区间[50，60)内的频数为2，所以抽样人数为＝25.

(2)成绩在区间[80，90)内的频数为25－21＝4；

频率分布直方图中区间[80，90)对应的小矩形的高为÷10＝0.016.

(3)成绩在82分以下的学生比例为学生成绩不足82分的频率，设相应频率为b，学生成绩在[82，100)内的频率为0.016×(90－82)＋0.008×10＝0.208，则b＝1－0.208＝0.792，由此估计全班成绩在82分以下的学生约占79.2%.