2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题含解析

2021-2022学年甘肃省天水市第一中学高二下学期学业水平模拟考试（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则A∩B=（       ）

A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{2，3}

【答案】D

【分析】应用集合的交运算求即可.

【详解】由题设，.

故选：D

2．下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先分析函数的奇偶性，满足奇函数再分析函数在上是否为增函数，由此判断出选项.

【详解】A．是奇函数，且在上有增有减，故不满足.

B．定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足.

C．是奇函数，且在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足.

D．是奇函数，且在上单调递增，故满足.

故选：D.

3．若，满足约束条件，则的最大值为（       ）

A． B．1 C．3 D．

【答案】D

【分析】根据题意，作出满足条件的可行域，根据目标函数几何意义求解.

【详解】作出满足条件不等式组的线性可行域，如下图所示：

因为，所以，当目标函数经过点时，取得最大值，

所以联立，解得，所以，所以.

故选：D

4．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（       ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.

【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，

设扇形的半径为，则，

解得，则扇形的圆心角的弧度数为.

故选:C.

【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.

5．已知向量，若，则（       ）

A． B．20 C． D．

【答案】A

【分析】先根据向量的平行求得的值，再求模即可.

【详解】，

.

故选：A．

6．某程序框图如图所示，运行后输出S的值为

A．10 B．11 C．14 D．16

【答案】D

【解析】分析程序框图，依次写出每次循环得到的、的值，当时，满足条件，输出的值即可.

【详解】执行程序框图，

由，

第一次循环：，不满足条件；

第二次循环：，不满足条件；

第三次循环：，不满足条件；

第四次循环：，不满足条件；

第五次循环：，满足条件；

故选：D

【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构、写出每次循环运行的结果是解决此类问题的基本方法，属于基础题.

7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（       ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

【答案】B

【分析】利用异面直线夹角的定义，将平移至为中点），通过为正三角形求解．

【详解】取中点连接，，则，与所成的角等于与所成的角．容易知道为正三角形，

与所成的角等于.

故选：B

8．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短

【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，

当与这条直径垂直时所得弦长最短，

圆心为，，

则由两点间斜率公式可得，

所以与垂直的直线斜率为，

则由点斜式可得过点的直线方程为，

化简可得，

故选：B

9．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据左加右减原则，即可得到答案；

【详解】函数向右平移个单位长度，

，

故选：A

10．如图，阴影部分是等边三角形内切圆所围成的区域，若在此三角形内部随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求出三角形的面积以及三角形内切圆的面积，然后求出内切圆的面积与三角形的面积比即可.

【详解】设三角形的边长为，内切圆的半径为，则三角形的面积，根据等面积法可列式得，得，所以内切圆的面积，所以该点取自阴影部分的概率是.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了的几何概型的计算，一般的求解步骤为：

（1）首先判断该事件是一维问题还是二维、三维问题；

（2）接着，如果是一维问题，利用事件A构成的区域长度（角度、弧长）与试验的全部结果相比，可得概率；如果是二维、三维问题，先设出二维或者三维变量，一般二维与面积相关，三维与体积相关，再列出事件A满足的面积或者体积与试验的全部结果，计算出两个区域的面积或体积相比即可.

二、填空题

11．已知函数，则函数的零点个数为______________.

【答案】3

【解析】根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.

【详解】解：当时，，

令得或（舍掉），

当时，，

令得或，

所以函数的零点个数为3个.

故答案为：3.

【点睛】函数零点个数的判定有下列几种方法：

（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；

（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

12．若，则________________.

【答案】

【分析】由诱导公式求得，再由二倍角公式计算．

【详解】由，得，所以．

故答案为：．

13．函数y=2x+log2x在区间[1，4]上的最大值是______．

【答案】18

【详解】解：∵y=2x和y=log2x在区间[1，4]上都是增函数，

∴y=2x+log2x在区间[1，4]上为增函数，

即当x=4时，函数y=2x+log2x在区间[1，4]上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18，

故答案为18

【点评】本题主要考查函数最值的计算，利用指数函数和对数的函数的单调性是解决本题的关键．

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 _______（结果用含π的式子表示）.

【答案】

【分析】根据题意，还原几何体，将几何体放置与长方体求解即可.

【详解】根据三视图得该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，

其中，，

所以该几何体的外接球是以为长宽高的长方体的外接球，

所以该几何体的外接球的半径为

所以该几何体的外接球的表面积为.

故答案为：

15．已知，，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由，得，则，展开后利用基本不等式可求得结果

【详解】解：由，得，

所以

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

三、解答题

16．如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3

（1）求△CBD的面积；

（2）求边AC的长.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；

（2）由正弦定理即可求解.

【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

则，

；

（2）在中，由正弦定理得，

即，解得.

17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用中位线定理即可证明，从而得出平面；

（2）计算到平面的距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算．

【详解】(1)证明： 四边形是正方形，是的中点，

，，三点共线，且是的中点，

又是的中点，

，

又平面，平面，

平面．

(2)解：平面，是的中点，

到平面的距离为，

四边形是正方形，，，

三棱锥的体积为：．

18．等比数列中，已知．

（1）求数列的通项．

（2）若等差数列，求数列前项和的最大值

【答案】（1）;（2）.

【解析】（1）根据等比数列的通项公式可得，，即可得答案；

（2）等差数列前项和，再利用二次函数的性质，即可得答案；

【详解】（1）由，得，解得，

从而；

（2）由已知得等差数列，，，

设公差为，则有，

即 ，解得.

故数列前项和，

由于二次函数的对称轴为，且对应的图象开口向下，

当或时，有最大值为.

【点睛】本题考查等比数列通项公式及等差数列前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用二次函数的性质进行求解.

19．由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“别题-讲题-再刷题”的模式效果不理想，某中学的数学课堂教改采用了“记题型-刷题-检测效果”的模式，并记录了学生的记题型时间（单位：h）与检测效果y的数据如表所示：

（1）据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（若，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；

（2）建立y关于t的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；

参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；参考数据：，，，.

【答案】（1）与之间具有较强的线性相关关系；（2），学生记题型时间为的检测效果为.

【分析】（1）先计算出，然后根据相关系数的公式求解出的值，根据的值进行判断即可；

（2）根据条件先计算出回归直线方程中的，利用求解出的值，由此可求回归直线方程，将代入回归直线方程可求检测效果.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以与之间具有较强的线性相关关系；

（2）由题意可设，

所以，

又因为，

所以回归直线方程为，

当时，，

即学生记题型时间为的检测效果为.

20．已知圆C经过三点，，.

（1）求圆C的标准方程；

（2）过点作直线交圆C于P、Q两点，点为圆C内一点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）假设圆的一般方程，代值计算，可得结果.

（2）假设直线方程，利用弦长公式，计算，然后计算到直线的距离，根据面积公式，可得，最后根据直线斜率的范围，结合换元法，可得结果.

【详解】（1）设圆

由圆C经过三点，，

所以

所以圆的方程为：

（2）设直线方程

圆心到直线的距离为

且，解得

所以

点到直线的距离为

所以

令

所以

则，

当时，有

【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的几何关系，难点在于的表示以及计算，重点在于对点到直线的距离，圆中弦长公式的记忆，属中档题.