2020合肥高三第三次教学质量检测数学（理）试题含答案
展开合肥市2020届高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷 (60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为实数集，集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数在复平面内对应的点关于原点对称，，则
A.-2 B. C.2 D.
3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为
A. B. C. D.
4.已知双曲线(，)的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.
5.“关于的方程有实数解”的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
6.已知，则
A. B. C. D.
7.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米
A.斗 B.斗 C.斗 D.斗
8.已知三个内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为
A. B.3 C. D.4
9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1处，发出的激光波长为1550()，测得某时刻频移为(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于
A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h
10.在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的面的交线长等于
A. B. C. D.
11.已知不等式对一切正数都成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12.在矩形中，，，点分别为直线上的动点，交于点.若，()，矩形的对称中心关于直线的对称点是点，则的周长为
A.12 B.16 C. D.
第Ⅱ卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.某高中各年级男、女生人数统计如下表：
年级 性别 | 高一 | 高二 | 高三 |
男生 | 592 | 563 | 520 |
女生 | 528 | 517 |
按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则上表中 .
14.在的展开式中，的系数为 .
15.已知数列中，数列的前项和.若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于 .
16.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为.点在底面内的射影为，点所对面的面积分别为.在下列所给的命题中，正确的有 .(请写出所有正确命题的编号)
①三棱锥外接球的表面积为；
②； ③；
④若三条侧棱与底面所成的角分别为，则；
⑤若点是面内一个动点，且与三条侧棱所成的角分别为，则.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知函数().
⑴求函数的值域；
⑵若方程在区间上恰有两个实数解，求的取值范围.
18.(本小题满分12分)
如图，边长为2的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，，为线段的中点.
⑴求证：平面⊥平面；
⑵求点到平面的距离.
19.(本小题满分12分)
某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：
空气质量指数 | (0，50] | (50，100] | (100，150] | (150，200] | (200，300] | 300以上 |
空气质 量等级 | 一级 (优) | 二级 (良) | 三级 (轻度污染) | 四级 (中度污染) | 五级 (重度污染) | 六级 (严重污染) |
⑴根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；
⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为，求的分布列和数学期望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.
20.(本小题满分12分)
已知函数(为自然对数的底数)，其中.
⑴试讨论函数的单调性；
⑵证明：.
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知点是椭圆：上的动点，不经过点的直线交椭圆于，两点.
⑴若直线经过坐标原点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
⑵若，直线与直线交于点，试判断动点的轨迹与直线的位置关系，并说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
⑴求曲线的直角坐标方程和直线的极坐标方程；
⑵过原点且与直线垂直的直线，交曲线于，两点，求四边形面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数的最小值为.
⑴求的值；
⑵若，证明：.
合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | C | D | C | B | C | B | D | A | C | A |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.480 14.-960 15.4 16.①②④⑤
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解:(1).
由得，的值域是.……………………………5分
(2)∵，∴，
由正弦函数的图像可知，在区间上恰有两个实数解，必须，
解得. ………………………………12分
18.(本小题满分12分)
解：(1)∵四边形是菱形，∴，
又∵，∴，∴是等边三角形.
∵点为线段的中点，∴.
又∵∥，∴.
∵在等边中，，
由∥可得，.
又∵，∴，
∵平面，∴平面⊥平面.……………………………5分
(2)∵，平面ABC⊥平面，且交线为AC，
∴，∴直线，，两两垂直.
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，
∴，∴.令，得，
∴，即点C到平面的距离为. ………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.……………………3分
(2)①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，
∴，，，
0 | 1 | 2 | |
∴的分布列为
∴ . …………………………………8分
②甲不宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，
∴. ………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：(1).
当时，，在上单调递增；
当时，由得，∴.
当时，，
当时，.
∴在和上单调递增，
在上单调递减.………………………………5分
(2)由(1)知，当时，在上单调递增，
∴在上单调递增.
当时，，即，
∴当时，，
∴.
………………………………12分
21.(本小题满分12分)
解: 设点，，.
(1)∵直线经过坐标原点，∴.
∵，∴.
同理得.
∴.
∴直线与直线的斜率之积为定值. ……………………………5分
(2)∵，∴.
设，则.
由，得，
∴动点的轨迹方程为. ……………………………8分
设直线与直线交于点，则点为线段的中点，且，
当时，∵，，∴，
∴直线的方程为，整理得.
将代入动点的轨迹方程得，(※).
将代入(※)，整理得.
∵，∴直线与动点的轨迹相切.
当时，直线的方程为，∴直线与动点的轨迹相切.
综上可知，直线与动点的轨迹相切. ……………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线的直角坐标方程为，
直线的极坐标方程为(). ………………………………5分
(2)设点，的极坐标分别为，.
由得，，∴，，
∴.同理得.
∵，
当且仅当，即时，等号成立，
∴四边形面积的最大值为7. ………………………………10分
23.(本小题满分10分)
(1)，
根据函数图象得，的最小值为-2，
∴. ………………………………5分
(2)由(1)知，，
∴，
∴，
当且仅当，，即，，时等号成立，
∴. ………………………………10分
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