2020天津和平区高三下学期线上学习阶段性评估检测数学试题（解析版）含解析

这是一份2020天津和平区高三下学期线上学习阶段性评估检测数学试题（解析版）含解析

和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测 数学学科试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5} 2．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　） A． B．1 C．2 D． 4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程x的等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（　　） A．54万元 B．55万元 C．56万元 D．57万元 5．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（　　） A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 8．已知函数f（x）＝cosx﹣|sinx|，那么下列命题中假命题是（　　） A．f（x）是偶函数 B．f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点 C．f（x）是周期函数 D．f（x）在[﹣π，0]上是增函数 9．已知函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上． 10．设复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝　 　． 11．二项式的展开式中，常数项为　 　（用数字作答） 12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为　 　． 13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是　 　若X表示摸出黑球的个数，则EX＝　 　． 14．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2取得最小值为　 　时，a+b＝　 　． 15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•1，则tanA＝　 　，•　 　． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x． （1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合． （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f（C）＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值． 17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1CC1． （1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值； （2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）． （3）在（2）的条件下，若AB，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小． 18．（15分）已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合 （ I）求椭圆C的方程； （ II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值 （ III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 19．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn； （3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范围． 20．已知函数． （1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值； （2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间； （3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x），若存在区间，使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的最大值．  一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}， 又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}． 故选：B． 2．|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3， ∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的充分非必要条件． 故选：A． 3．因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上， 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直， 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行， 所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2． 故选：C． 4．由题意，（1+2+4+5）＝3，（10+26+35+49）＝30． ∵回归方程x的等于9， ∴30＝9×3+a， ∴a＝3 ∴y＝9x+3 当x＝6时，y＝9×6+3＝57万元 故选：D． 5．∵a，b＞1，c， ∴c＜a＜b． 故选：B． 6．根据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}， 有f（﹣x）（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A， 又由x＞0时，有ex＞e﹣x，即有ex﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D， 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C； 故选：B． 7．根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x，则p＝4， 则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2； 点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x， 由双曲线的性质，可得b＝1； 则c，则焦距为2c＝2 故选：A． 8．对于A，函数f（x）＝cosx﹣|sinx|，定义域为R， 且满足f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣|sin（﹣x）|＝cosx﹣|sinx|＝f（x），f（x）为定义域R上的偶函数，A正确； 对于B，x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，f（x）＝cosx﹣|sinx|＝cosx+sinxsin（x）， 且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，B正确； 对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2π的周期函数，C正确； 对于D，x∈[﹣π，0]时，f（x）sin（x），且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上先减后增，D错误． 故选：D． 9．∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数， ∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R， ∵y＝2a2﹣4a，a∈R， ∴当a＝1时，y最小值＝﹣2， ∵函数f（x）， f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2， ∴值域为[﹣2，6] ∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0， ∴﹣2≤2a2﹣4a≤6， 即﹣1≤a≤3， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上． 10．由（1+i）z＝3﹣i，得z1﹣2i， ∴|z|； 故答案为：． 11．依题意，二项式的展开式的第k+1项为：Tk+1•， 由80解得，k＝6， 所以常数项为：112， 故答案为：112． 12．∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5， ∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B1， ∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面A1MB， ∵M是AA1的中点，∴3， ∴三棱锥A1﹣MBC1的体积： 4． 故答案为：4． 13．恰有一个黑球的概率P． 由题意可得：X＝0，1，2． P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）． 可得X的分布列： ∴EX12． 故答案为：． 14．因为a＞0，b＞0， 所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号， 所以（a+4b）2≥16ab， 则（a+4b）28， 当且仅当即a＝1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b． 故答案为：8， 15．以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点， ∴D（，），E（，），M（ ，），N（ ，）， ∴（a，），（﹣a，），且 •1， ∴﹣a21①， 又AC＝3，∴a2+b2＝9②， 联立①②得，a2， 在△ABC中，由余弦定理得，cosA． 因为A为等腰三角形的顶角；且cosA， ∴sinA； ∴tanA； sin； ∴cosB＝cos（）＝sin； ∴••3×2a×cosB＝﹣3． 故答案为：，． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分为14分） 解：（1）∵f（x）sin2x﹣cos2xsin2xsin（2x）﹣1，…4分 ∴当2x2kπ，即x＝kπ（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分 此时自变量x的集合为：{x/x＝kπ，k∈Z}…7分 （2）∵f（C）＝0， ∴sin（2C）﹣1＝0， 又∵0＜C＜π， ∴2C，可得：C，…9分 ∵sinB＝2sinA，由正弦定理可得：b＝2a①，又c， ∴由余弦定理可得：（）2＝a2+b2﹣2abcos，可得：a2+b2﹣ab＝3②，…13分 ∴联立①②解得：a＝1，b＝2…14分 17．如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0） （1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 平面ABC的法向量，又， 设BC1与平面ABC所成角为θ ，则． （2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则， ∵EA⊥EB1， ∴ ∴y＝1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点． （3）∵A（0，0，），则， 设平面AEB1的法向量m＝（x1，y1，z1）， 则∴， 取m＝（1，1，）， ∵， ∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E， ∴平面A1B1E的法向量， ∴cos＜m，， ∴二面角A﹣EB1﹣A1为45°． 18．（Ⅰ）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点， ∴，解得a＝2，，， ∴椭圆C的方程为．…（2分） 证明：（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD， 则kAD+kAB ，（*） 设直线BD的方程为， 联立， ∴△＝﹣8b2+64＞0，解得﹣2b＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②， 将①、②式代入*式整理得0， ∴kAD+kAB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值． 解：（Ⅲ）|BD||x1﹣x2|， 设d为点A到直线BD：的距离，∴， ∴， 当且仅当b＝±2时取等号， ∵±2，∴当b＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为． 19．（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0， a1＝2，2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去）， 可得an＝2n； bn＝1+2log2an＝1+2log22n＝1+2n； （2）cn＝an•bn＝（2n+1）•2n， 前n项和Sn＝3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2n， 2Sn＝3•4+5•8+7•16+…+（2n+1）•2n+1， 两式相减可得﹣Sn＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1 ＝6+2•（2n+1）•2n+1， 化简可得Sn＝2+（2n﹣1）•2n+1； （3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立， 即为2λ2﹣kλ+2的最大值， 由0， 可得{}递减，可得n＝1时，取得最大值， 可得2λ2﹣kλ+2，即为k＜2λ的最小值， 可得2λ22，当且仅当λ时取得最小值2， 则k＜2． 20．（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx（x＞0），这时的导数， 令f'（x）＝0，即，解得x＝1，令f'（x）＞0得到x＞1，令f'（x）＜0得到0＜x＜1， 故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；故函数f（x）在x＝1时取到最小值， 故f（x）min＝f（1）＝1； （2）当a＞0时，函数导数为， 若a＝1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减， 若a＞1时，，当x＞1或时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0， 即函数f（x）在区间，（1，+∞）上单调递减，在区间上单调递增． 若0＜a＜1时，，当或0＜x＜1时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0， 函数f（x）在区间（0，1），上单调递减，在区间上单调递增． 综上，若a＝1时，函数f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间， 若a＞1时，函数f（x）的减区间为，（1，+∞），增区间为， 若0＜a＜1时，函数f（x）的减区间为（0，1），，增区间为． （3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）＝x2﹣xlnx． 令g'（x）＝2x﹣lnx﹣1，， 当时，g''（x）≥0，g'（x）为增函数，，g（x）为增函数，g（x）在区间上递增， ∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]， ∴g（x）＝k（x+2）﹣2在上至少有两个不同的正根，，令， 求导得，， 令， 则， 所以G（x）在递增，，G（1）＝0， 当，G（x）＜0， ∴F'（x）＜0，当x∈[1，+∞），G（x）＞0， ∴F'（x）＞0， 所以F（x）在上递减，在[1，+∞）上递增， ∴，∴， ∴k的最大值为．广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549 X 0 1 2 P